Trajectoires d’un système à deux corps
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il vient :
r =
p
1 + e cos u
Cette équation est connue sous le nom d’équation polaire paramétrée en (p, e). Elle correspond à l’équation, en coordonnées polaires, d’une conique de paramètre p et d’excentricité e.
Il importe de remarquer que cette solution permet ensuite de déterminer la position des
points M 1 et M 2 par rapport à G en fonction de l’angle u. En effet rappelons que :
r = r 1 + r 2 et m 1 r 1 = m 2 r 2
r 1 =
m 2
m 1 + m 2
r et r 2 =
m 1
m 1 + m 2
r
Notons une fois encore que si m 1 >> m 2 alors le point M 1 est fixe car G est pratiquement
en M 1 et le point M 2 se trouve à la distance r de G.
Les paramètre p et e dépendent des conditions initiales. Le paramètre p est toujours positif
dans le cas d’une interaction gravitationnelle. Pour une interaction électrostatique, entre
deux charges q 1 et q 2 , on aurait :
p =
4p´ 0 mC
2
q 1 q 2
On constate que p > 0 pour des charges de même nature et p < 0 dans le cas contraire.
L’excentricité e est choisie positive. Suivant les conditions initiales, on peut obtenir :
r =
p
1 ± e cos u
Lorsque le signe de e est négatif, le changement de phase u → u + p permet de passer
à un signe positif. Il suffit ensuite de faire une rotation des axes de p pour se ramener à
l’expression : 1 + e cos u.
Les trajectoires possibles du point M dépendent essentiellement du paramètre e appelé
excentricité de la trajectoire. Nous présentons dans le paragraphe suivant l’étude de la
trajectoire en fonction de l’excentricité e avec e 0.
4. ÉTUDE DES TRAJECTOIRES
4.1. Excentricité nulle e = 0
Lorsque l’excentricité de la trajectoire est nulle, on obtient un rayon vecteur de valeur
constante r = p. La trajectoire est alors circulaire et le rayon de la trajectoire égal au
paramètre p de la conique (figure 10.4). Les trajectoires des deux masses m 1 et m 2 se
déduisent par simple homothétie.
4.2. Excentricité e < 1
Lorsque l’excentricité est inférieure à 1, la trajectoire se caractérise par un rayon vecteur
qui varie avec l’angle u. Il suffit pour connaître la trajectoire de calculer r pour u variant
de 0 à 2p. Le tableau 11.1 donne ces valeurs de façon générale pour e = 0, 5.
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il vient :
r =
p
1 + e cos u
Cette équation est connue sous le nom d’équation polaire paramétrée en (p, e). Elle correspond à l’équation, en coordonnées polaires, d’une conique de paramètre p et d’excentricité e.
Il importe de remarquer que cette solution permet ensuite de déterminer la position des
points M 1 et M 2 par rapport à G en fonction de l’angle u. En effet rappelons que :
r = r 1 + r 2 et m 1 r 1 = m 2 r 2
r 1 =
m 2
m 1 + m 2
r et r 2 =
m 1
m 1 + m 2
r
Notons une fois encore que si m 1 >> m 2 alors le point M 1 est fixe car G est pratiquement
en M 1 et le point M 2 se trouve à la distance r de G.
Les paramètre p et e dépendent des conditions initiales. Le paramètre p est toujours positif
dans le cas d’une interaction gravitationnelle. Pour une interaction électrostatique, entre
deux charges q 1 et q 2 , on aurait :
p =
4p´ 0 mC
2
q 1 q 2
On constate que p > 0 pour des charges de même nature et p < 0 dans le cas contraire.
L’excentricité e est choisie positive. Suivant les conditions initiales, on peut obtenir :
r =
p
1 ± e cos u
Lorsque le signe de e est négatif, le changement de phase u → u + p permet de passer
à un signe positif. Il suffit ensuite de faire une rotation des axes de p pour se ramener à
l’expression : 1 + e cos u.
Les trajectoires possibles du point M dépendent essentiellement du paramètre e appelé
excentricité de la trajectoire. Nous présentons dans le paragraphe suivant l’étude de la
trajectoire en fonction de l’excentricité e avec e 0.
4. ÉTUDE DES TRAJECTOIRES
4.1. Excentricité nulle e = 0
Lorsque l’excentricité de la trajectoire est nulle, on obtient un rayon vecteur de valeur
constante r = p. La trajectoire est alors circulaire et le rayon de la trajectoire égal au
paramètre p de la conique (figure 10.4). Les trajectoires des deux masses m 1 et m 2 se
déduisent par simple homothétie.
4.2. Excentricité e < 1
Lorsque l’excentricité est inférieure à 1, la trajectoire se caractérise par un rayon vecteur
qui varie avec l’angle u. Il suffit pour connaître la trajectoire de calculer r pour u variant
de 0 à 2p. Le tableau 11.1 donne ces valeurs de façon générale pour e = 0, 5.