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Mécanique du point
3. RÉSOLUTION DE LA FORMULE DE BINET
Cette équation du second degré à second membre constant admet une solution particulière :
u =
K
C 2 =
Gm 1 m 2
mC 2
et une solution de l’équation sans second membre de la forme :
u = A cos(u − f)
La solution générale est donc de la forme :
u =
1
r
= A cos(u − f) +
Gm 1 m 2
mC 2
où A et f sont deux constantes d’intégration qui dépendent des conditions initiales.
Il est toujours possible de s’arranger pour avoir f = 0. Il suffit pour cela de faire une
rotation du repère(O, x, y, z) d’un angle f, autour de l’axe Oz (figure 10.3). La nouvelle
coordonnée angulaire u = u(X, Y) du repère (O, X, Y, z) ainsi obtenu correspond alors à
u(x, y) − f.
M
r
x
y
X
Y
O
u (x,y)
u (x,y) -f=u (X,Y) =u
f
Figure 10.3 • Dans le nouveau repère (O, X, Y) obtenu par rotation du repère
(O, x, y), la coordonnée angulaire se transforme en u(X, Y) = u(x, y) − f .
Il en résulte que la distance r évolue en fonction du nouvel angle selon une expression du
type :
r =
1
A cos u +
Gm1m2
mC 2
(10.2)
Cette relation peut se mettre sous une forme différente en factorisant la quantité
Gm 1 m 2
mC 2 .
On obtient alors l’équation suivante :
r =
1
(1 +
A
Gm 1 m 2
mC 2
cos u)
Gm1m2
mC 2
En utilisant les notations suivantes :
p =
mC
2
Gm 1 m 2
=
C
2
G (m 1 + m 2 )
(10.3)
e = Ap
(10.4)