224
Mécanique du point
Force d’inertie : le point M étant en équilibre dans le référentiel mobile il n’y a pas de force
d’inertie de coriolis. Le point M a un mouvement circulaire uniforme par rapport au référentiel
terrestre. L’accélération d’entraînement est donc : − → a e = −v
2 x − → u x. La force d’inertie est donc :
− →
f ie = −m − → a e = mv
2 x − → u x
Condition d’équilibre :
− →
P +
− →
R +
− →
f ie =
− →
0
Ceci se traduit par (voir figure) :
tan a =
fie
P
=
mv
2 x
mg
=
v
2 x
g
= 2ax ⇒ v =
p
2ag
4 Le pendule de Foucault
1) Le Référentiel terrestre est non galiléen. Il n’est pas en translation rectiligne uniforme mais
en rotation uniforme par rapport au référentiel Géocentrique galiléen (sur une longue durée).
2) Le pendule simple est placé à la latitude l = 48
◦ .
− →
V = V
− →
k = V
` − cos l − → u x + sin l − → u z
´
= −7, 3.10
−5 cos 48˚ − → u x + 7, 3.10
−5 sin 48˚ − → u z
− →
V = −4, 88.10
−5− → u x + 5, 42.10
−5− → u z
Pour un pendule simple : vo =
r
g
l
=
r
10
0,6
= 0,408 rad.s
−1 >> V
3) − → u r =
− →
SM/SM =
x
l
− → u x +
y
l
uy +
z − l
l
− → u z.
Soit : .
− →
T = −T − → u r = −
“ x
l
T
” − → u x −
“ y
l
T
”
uy −
„
z − l
l
T
«
− → u z
4) On travaille dans le référentiel non galiléen. Comme force il y a :
Le poids
− →
P = m − → g = −mg − → u z, la Tension
− →
T
Il faut ajouter la force d’inertie de Coriolis :
− →
f ic = −2m
− →
V ∧ − → v = −2mV
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
− cos l
0
sin l
∧
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˙ x
˙ y
˙ z
− →
f ic = 2mV
ˆ
˙ y sin l − → u x − (˙ z cos l + ˙ x sin l) − → u y + ˙ y cos l − → u z
˜
On peut négliger la force d’inertie d’entraînement devant la force de gravitation (ou si on préfère, le poids tient compte de la force d’inertie d’entraînement et on considère que la verticale
passe par le centre de la Terre). On a alors :
− →
P +
− →
T +
− →
f ic = m − → a
5) Sur − → u x : −
x
l
T + 2mV˙ y sin l = m¨ x
Sur − → u y : −
y
l
T − 2mV(˙ z cos l + ˙ x sin l) = m¨ y
Sur − → u z : −mg −
z − l
l
T + 2mV˙ y cos l = m¨ z
6) Avec P = mg ≈ T on a :
m¨ x = −
x
l
mg + 2mV˙ y sin l ⇒ ¨ x +
g
l
x = 2V˙ y sin l ⇒ ¨ x + v
2
o x = 2V˙ y sin l
m¨ y = −
y
l
mg − 2mV(˙ z cos l + ˙ x sin l) ⇒ ¨ y + v
2
o y = −2V(˙ z cos l + ˙ x sin l)
m¨ z = −mg −
z − l
l
mg + 2mV˙ y cos l ⇒ ¨ z + v
2
o z = 2V˙ y cos l
Mécanique du point
Force d’inertie : le point M étant en équilibre dans le référentiel mobile il n’y a pas de force
d’inertie de coriolis. Le point M a un mouvement circulaire uniforme par rapport au référentiel
terrestre. L’accélération d’entraînement est donc : − → a e = −v
2 x − → u x. La force d’inertie est donc :
− →
f ie = −m − → a e = mv
2 x − → u x
Condition d’équilibre :
− →
P +
− →
R +
− →
f ie =
− →
0
Ceci se traduit par (voir figure) :
tan a =
fie
P
=
mv
2 x
mg
=
v
2 x
g
= 2ax ⇒ v =
p
2ag
4 Le pendule de Foucault
1) Le Référentiel terrestre est non galiléen. Il n’est pas en translation rectiligne uniforme mais
en rotation uniforme par rapport au référentiel Géocentrique galiléen (sur une longue durée).
2) Le pendule simple est placé à la latitude l = 48
◦ .
− →
V = V
− →
k = V
` − cos l − → u x + sin l − → u z
´
= −7, 3.10
−5 cos 48˚ − → u x + 7, 3.10
−5 sin 48˚ − → u z
− →
V = −4, 88.10
−5− → u x + 5, 42.10
−5− → u z
Pour un pendule simple : vo =
r
g
l
=
r
10
0,6
= 0,408 rad.s
−1 >> V
3) − → u r =
− →
SM/SM =
x
l
− → u x +
y
l
uy +
z − l
l
− → u z.
Soit : .
− →
T = −T − → u r = −
“ x
l
T
” − → u x −
“ y
l
T
”
uy −
„
z − l
l
T
«
− → u z
4) On travaille dans le référentiel non galiléen. Comme force il y a :
Le poids
− →
P = m − → g = −mg − → u z, la Tension
− →
T
Il faut ajouter la force d’inertie de Coriolis :
− →
f ic = −2m
− →
V ∧ − → v = −2mV
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
− cos l
0
sin l
∧
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˙ x
˙ y
˙ z
− →
f ic = 2mV
ˆ
˙ y sin l − → u x − (˙ z cos l + ˙ x sin l) − → u y + ˙ y cos l − → u z
˜
On peut négliger la force d’inertie d’entraînement devant la force de gravitation (ou si on préfère, le poids tient compte de la force d’inertie d’entraînement et on considère que la verticale
passe par le centre de la Terre). On a alors :
− →
P +
− →
T +
− →
f ic = m − → a
5) Sur − → u x : −
x
l
T + 2mV˙ y sin l = m¨ x
Sur − → u y : −
y
l
T − 2mV(˙ z cos l + ˙ x sin l) = m¨ y
Sur − → u z : −mg −
z − l
l
T + 2mV˙ y cos l = m¨ z
6) Avec P = mg ≈ T on a :
m¨ x = −
x
l
mg + 2mV˙ y sin l ⇒ ¨ x +
g
l
x = 2V˙ y sin l ⇒ ¨ x + v
2
o x = 2V˙ y sin l
m¨ y = −
y
l
mg − 2mV(˙ z cos l + ˙ x sin l) ⇒ ¨ y + v
2
o y = −2V(˙ z cos l + ˙ x sin l)
m¨ z = −mg −
z − l
l
mg + 2mV˙ y cos l ⇒ ¨ z + v
2
o z = 2V˙ y cos l