Référentiels non galiléens
213
4) Application numérique :
La masse se trouve devant la graduation –1 cm. Quelle est la valeur de l’accélération a ?
À quels phases du mouvement de l’ascenseur cela correspond-il ?
Même question si la position correspond à + 1 cm, puis si x = 0.
Dans l’hypothèse où l’ascenseur se trouverait en chute libre, quelle serait la longueur
du ressort ?
Solution
1) L’ascenseur est immobile par rapport au référentiel terrestre galiléen. Le référentiel lié à l’ascenseur est donc aussi galiléen. Les forces exercées sur la masse m sont :
− →
P = m − → g = mg − → u et
− →
T = k(L e − L o ). La masse est en équilibre donc :
− →
P +
− →
T =
− →
0 ⇒
La raideur du ressort :
k =
mg
L e − L o
=
0,1.9,8
0,249 − 0,20
=
0,98
0,049
= 20 N.m
−1 = 0, 20 N.cm
−1
2) Le référentiel (R) est en mouvement de translation rectiligne par rapport au référentiel Terrestre galiléen (R T ) lorsque l’ascenseur fonctionne. Le référentiel (R) n’est
pas galiléen si l’accélération a est non nulle. Si a = 0, alors le référentiel (R) est en
translation rectiligne uniforme par rapport à (R T ) et est donc galiléen.
3) Système : la masse m ; référentiel non galiléen (R) ; les forces : poids de la masse
− →
P = mg − → u , tension du ressort
− →
T = −k(L e + x − L o ) − → u et
− →
F ie = −m − → a e = −m − → a = −ma − → u Z = ma − → u (la force d’inertie d’entraînement).
L’équilibre de la masse dans le référentiel (R) se traduit par :
− →
P +
− →
T +
− →
F ie =
− →
0 = mg − → u − k(L e + x − L o ) − → u + ma − → u
⇒ mg − k(L e − L o ) + ma − kx = 0 = ma − mx.
On a donc : a =
k
m
x =
20
0,1
x = 200x avec a en m.s
−2 et x en m.
Avec l’accélération a exprimée en m.s
−2 et x exprimé en cm : a = 2x
4) Application numérique :
x = −1 cm alors a = −2 m.s
−2 . L’accélération est vers le bas donc cela correspond soit
à un freinage en montant pour s’arrêter à un étage soit un démarrage vers le bas pour
redescendre.
x = +1 cm alors a = +2 m.s
−2 . L’accélération est vers le haut donc cela correspond
soit à un freinage en descendant pour s’arrêter à un étage soit un démarrage vers le
haut pour atteindre un étage supérieur.
Chute libre alors a = −g. Alors a = 200x ⇒ x = −0,049 cm et donc L = 20 cm. Le
ressort est ni étiré ni comprimé. C’est l’état d’apesanteur.
213
4) Application numérique :
La masse se trouve devant la graduation –1 cm. Quelle est la valeur de l’accélération a ?
À quels phases du mouvement de l’ascenseur cela correspond-il ?
Même question si la position correspond à + 1 cm, puis si x = 0.
Dans l’hypothèse où l’ascenseur se trouverait en chute libre, quelle serait la longueur
du ressort ?
Solution
1) L’ascenseur est immobile par rapport au référentiel terrestre galiléen. Le référentiel lié à l’ascenseur est donc aussi galiléen. Les forces exercées sur la masse m sont :
− →
P = m − → g = mg − → u et
− →
T = k(L e − L o ). La masse est en équilibre donc :
− →
P +
− →
T =
− →
0 ⇒
La raideur du ressort :
k =
mg
L e − L o
=
0,1.9,8
0,249 − 0,20
=
0,98
0,049
= 20 N.m
−1 = 0, 20 N.cm
−1
2) Le référentiel (R) est en mouvement de translation rectiligne par rapport au référentiel Terrestre galiléen (R T ) lorsque l’ascenseur fonctionne. Le référentiel (R) n’est
pas galiléen si l’accélération a est non nulle. Si a = 0, alors le référentiel (R) est en
translation rectiligne uniforme par rapport à (R T ) et est donc galiléen.
3) Système : la masse m ; référentiel non galiléen (R) ; les forces : poids de la masse
− →
P = mg − → u , tension du ressort
− →
T = −k(L e + x − L o ) − → u et
− →
F ie = −m − → a e = −m − → a = −ma − → u Z = ma − → u (la force d’inertie d’entraînement).
L’équilibre de la masse dans le référentiel (R) se traduit par :
− →
P +
− →
T +
− →
F ie =
− →
0 = mg − → u − k(L e + x − L o ) − → u + ma − → u
⇒ mg − k(L e − L o ) + ma − kx = 0 = ma − mx.
On a donc : a =
k
m
x =
20
0,1
x = 200x avec a en m.s
−2 et x en m.
Avec l’accélération a exprimée en m.s
−2 et x exprimé en cm : a = 2x
4) Application numérique :
x = −1 cm alors a = −2 m.s
−2 . L’accélération est vers le bas donc cela correspond soit
à un freinage en montant pour s’arrêter à un étage soit un démarrage vers le bas pour
redescendre.
x = +1 cm alors a = +2 m.s
−2 . L’accélération est vers le haut donc cela correspond
soit à un freinage en descendant pour s’arrêter à un étage soit un démarrage vers le
haut pour atteindre un étage supérieur.
Chute libre alors a = −g. Alors a = 200x ⇒ x = −0,049 cm et donc L = 20 cm. Le
ressort est ni étiré ni comprimé. C’est l’état d’apesanteur.