204
Mécanique du point
La projection de l’équation fondamentale de la dynamique sur les trois axes conduit aux
équations différentielles du mouvement suivantes :
¨ x
= 2v˙ y
− g cos l
¨ y
= −2v˙ x
¨ z
= −g sin l
Ces équations différentielles sont couplées par l’intermédiaire des variables x
et y
et leur
résolution est quelque peu difficile si l’on ne fait pas l’approximation que la composante
de la force de Coriolis selon l’axe des x
est négligeable. Cette hypothèse est justifiée par
le fait que la vitesse de la masse m selon l’axe des y
est toujours faible puisqu’au point de
départ le mouvement a lieu dans le plan x
O
z
. Dans ce cas le terme 2v˙ y
est négligeable
devant le terme g cos l. Les équations différentielles se simplifient et s’écrivent :
¨ x
= −g cos l = G 1
¨ y
= −2v˙ x
¨ z
= −g sin l = G 2
La première équation s’intègre facilement et conduit à :
¨ x
= G 1 ⇒ ˙ x
= G 1 t ⇒ x
=
1
2
G 1 t
2 + x 0 =
1
2
G 1 t
2 + h cos l
La seconde équation se résout en reportant l’expression de la vitesse selon x’ dans l’expression de l’accélération de Coriolis, soit :
¨ y
= −2v˙ x
= −2vG 1 t ⇒ ˙ y
− vG 1 t
2
⇒ y
= −
1
3
G 1 vt
3 =
1
3
g cos lvt
3
La dernière équation conduit à l’équation horaire suivante :
¨ z
= G 2 ⇒ ˙ z
= G 2 t ⇒ z
=
1
2
G 2 t
2 + z 0 = −
1
2
g sin lt
2 + h sin l
La déviation vers l’est est contenue dans le terme en y
=
1
3
g cos lvt
3 . Cette quantité est
positive, ce qui correspond à une déviation de la masse m vers l’est
2 . On peut évaluer
son importance. Supposons que la hauteur de chute soit de 45 m ce qui correspond à un
temps de chute t égal à 3 secondes (h = 1/2gt
2 ) et que le point M soit à une latitude de
45
◦ ; on obtient alors y’= 4,5 mm.
Remarquons que ce terme s’annule sur l’axe de rotation de la Terre car le vecteur vitesse
angulaire est alors parallèle à la vitesse de chute ce qui annule la force de Coriolis.
Si on néglige cette déviation vers l’est, le mouvement se fait suivant la direction TI confondue avec la verticale du lieu. L’équation du mouvement est alors sur cette direction :
IM = −
1
2
gt
2 + h
2. À lire : Vers l’est ou vers l’ouest, par H. Gié BUP, 1986, n ◦ 685, 993-999.
Mécanique du point
La projection de l’équation fondamentale de la dynamique sur les trois axes conduit aux
équations différentielles du mouvement suivantes :
¨ x
= 2v˙ y
− g cos l
¨ y
= −2v˙ x
¨ z
= −g sin l
Ces équations différentielles sont couplées par l’intermédiaire des variables x
et y
et leur
résolution est quelque peu difficile si l’on ne fait pas l’approximation que la composante
de la force de Coriolis selon l’axe des x
est négligeable. Cette hypothèse est justifiée par
le fait que la vitesse de la masse m selon l’axe des y
est toujours faible puisqu’au point de
départ le mouvement a lieu dans le plan x
O
z
. Dans ce cas le terme 2v˙ y
est négligeable
devant le terme g cos l. Les équations différentielles se simplifient et s’écrivent :
¨ x
= −g cos l = G 1
¨ y
= −2v˙ x
¨ z
= −g sin l = G 2
La première équation s’intègre facilement et conduit à :
¨ x
= G 1 ⇒ ˙ x
= G 1 t ⇒ x
=
1
2
G 1 t
2 + x 0 =
1
2
G 1 t
2 + h cos l
La seconde équation se résout en reportant l’expression de la vitesse selon x’ dans l’expression de l’accélération de Coriolis, soit :
¨ y
= −2v˙ x
= −2vG 1 t ⇒ ˙ y
− vG 1 t
2
⇒ y
= −
1
3
G 1 vt
3 =
1
3
g cos lvt
3
La dernière équation conduit à l’équation horaire suivante :
¨ z
= G 2 ⇒ ˙ z
= G 2 t ⇒ z
=
1
2
G 2 t
2 + z 0 = −
1
2
g sin lt
2 + h sin l
La déviation vers l’est est contenue dans le terme en y
=
1
3
g cos lvt
3 . Cette quantité est
positive, ce qui correspond à une déviation de la masse m vers l’est
2 . On peut évaluer
son importance. Supposons que la hauteur de chute soit de 45 m ce qui correspond à un
temps de chute t égal à 3 secondes (h = 1/2gt
2 ) et que le point M soit à une latitude de
45
◦ ; on obtient alors y’= 4,5 mm.
Remarquons que ce terme s’annule sur l’axe de rotation de la Terre car le vecteur vitesse
angulaire est alors parallèle à la vitesse de chute ce qui annule la force de Coriolis.
Si on néglige cette déviation vers l’est, le mouvement se fait suivant la direction TI confondue avec la verticale du lieu. L’équation du mouvement est alors sur cette direction :
IM = −
1
2
gt
2 + h
2. À lire : Vers l’est ou vers l’ouest, par H. Gié BUP, 1986, n ◦ 685, 993-999.