Interaction gravitationnelle
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Dans le cas où la masse m est à une altitude z très petite devant le rayon de la Terre R T ,
il est possible de développer l’énergie potentielle au premier ordre en z/R T . On obtient
lorsque le zéro est pris à la surface de la Terre :
E P (z) = −G
mM
R T + z
+ G
mM
R T
= −G
mM
R T (1 +
z
RT
)
+ G
mM
R T
soit
E P (z) = −G
mM
R T
(1 +
z
R T
)
−1 + G
mM
R T
Le développement limité de l’énergie potentielle à l’ordre 1 en z/R T conduit à :
E P (z) = −G
mM
R T
+ G
mM
R
2
T
z + G
mM
R T
= mG 0 z
Nous avons vu qu’au voisinage de la Terre, localement, le champ de gravitation
− →
G o peut
être considéré comme uniforme et égal au champ de pesanteur − → g . On retrouve bien,
alors, l’expression de l’énergie potentielle d’une masse m dans un champ de pesanteur
uniforme − → g
E P (z) = mG 0 z mgz
avec l’axe des z ascendant.
4. APPLICATIONS
4.1. Comparaison de l’interaction Terre-Lune et Soleil-Lune
Nous allons comparer les forces d’attraction terrestre et solaire sur la Lune. Nous reportons dans le tableau 7.1 ci-dessous les différentes grandeurs utiles :
Terre
Soleil
Lune
M T =6.10
24 kg
M S =2.10
30 kg
M L =7,4.10
22 kg
R T =6400 km
ST=150.10
6 km TL=60R T =384 000 km
Tableau 7.1 • Masses et distances caractéristiques de la Terre du Soleil et de la Lune.
La force d’attraction du Soleil sur la Lune est donnée par :
− →
F MS→ML = −G
M S M L
SL 2
− → u SL ≈ −G
M S M L
ST 2
− → u SL
La force d’attraction de la Terre sur la Lune s’écrit :
− →
F MT→ML = −G
M T M L
TL 2
− → u TL