180
Mécanique du point
La différentielle de l’énergie potentielle s’écrit alors :
d E P = G
mM(x d x + y d y + z d z)
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2
L’intégration est plus délicate qu’en coordonnées sphériques et il est utile de faire le changement de variable suivant :
r
2 = u = (x
2 + y
2 + z
2 ) ⇒ du = 2(x d x + y d y + z d z)
ce qui conduit à :
d E P = G
mM(x d x + y d y + z d z)
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2
=
1
2
GmMu
−3/2 d u
Par intégration, nous obtenons :
E P = −G
mM
u 1/2 + C
ce qui conduit, en revenant à la variable r, à :
E P = −G
mM
r
+ C
L’expression de l’énergie potentielle de pesanteur dans un champ de gravitation
variable s’écrit donc toujours :
E P = −G
mM
r
+ C
Remarque. La valeur de la constante C dépend du choix arbitraire du zéro de l’énergie
potentielle. On choisit habituellement de prendre nulle l’énergie potentielle de la masse m
lorsqu’elle est à l’infini par rapport à M.
Le choix de l’origine de l’énergie potentielle :
E P (∞) = 0
conduit à prendre la constante C nulle. L’énergie potentielle s’écrit alors :
E P = −G
mM
r
3.2. Énergie potentielle pour une masse au voisinage de la Terre
Pour une masse m, au voisinage de la Terre, située à l’altitude z par rapport au niveau
de la mer, il est commode de prendre l’énergie potentielle nulle à l’altitude 0. L’énergie
potentielle de gravitation peut alors s’écrire :
E P (z) = −G
mM
r
+ C = −G
mM
R T + z
+ C
avec E P (R T ) = 0, ce qui donne :
E P = −G
mM
r
+ G
mM
R T