Oscillateurs mécaniques
153
3 Une sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de
longueur à vide l o . Elle est plongée dans un liquide de coefficient de viscosité h et
soumise alors à une force de frottement fluide donnée par la formule de Stokes :
− →
F = −6phr − → v
où − → v est la vitesse. Dans l’air, où les frottements fluides sont négligeables sur la
sphère, la période des oscillations est T o . Déterminer le coefficient de viscosité h en
fonction de m, r, T o et de la pseudo-période T des oscillations dans le fluide.
4 Un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 , prend une longueur L quand on lui
accroche un point matériel M de poids mg.
1) Exprimer la pulsation q des oscillations verticales de M.
2) Exprimer la pulsation p des petites oscillations d’un pendule de longueur L.
3) On considère les oscillations de M dans le plan vertical (xOy), avec Oy verticale
ascendante, au voisinage de la position d’équilibre O. Établir les équations différentielles du mouvement de M en supposant x et y comme des infiniment petits du 1
ier
ordre.
4) Intégrer ces équations. Quelle condition doivent vérifier p et q pour que le vecteur
−→
OM soit une fonction périodique ? Étudier le cas p/q = 1/2, v(t = 0) = 0, x(t = 0) = a
et y(t = 0) = b.
Solutions
1 1) Nous considérons le système constitué des deux ressorts. Si l’on exerce une force de tension
− →
T sur les deux ressorts, ils s’allongent de Dl. On en conclut que si − → u x est un vecteur unitaire
dans la direction verticale de l’allongement, alors
− →
T = −(k1 + k2)Dl − → u x.
La constante de raideur de ces deux ressorts est donc k1 + k2. Si l’on attache une masse m aux
deux ressorts cette masse sera soumise à :
• son poids
− →
P ;
• la tension
− →
T .
À l’équilibre le poids
− →
P compense la tension
− →
T et l’allongement des deux ressorts vérifie :
mg − → u x − (k1 + k2)Dl0 − → u x =
− →
0 .
On en déduit que le ressort équivalent à ces deux ressorts placés en parallèle a une raideur k
vérifiant k = k1 + k2.
Pour une position hors équilibre quelconque de la masse m et en prenant comme origine de
l’axe des x la position d’équilibre de la masse m, le principe fondamental de la dynamique
appliqué à la masse m conduit à :
mg − → u x − (k1 + k2) (Dl 0 + x) − → u x = m¨ x − → u x
qui, compte tenu de la condition d’équilibre, entraîne [m¨ x + (k1 + k2)x] − → u x =
− →
0 . Le vecteur
− → u x étant un vecteur unitaire cette équation devient :[m¨ x + (k1 + k2)x] = 0, ce qui est l’équation
différentielle d’un oscillateur harmonique de période propre T, T = 2p
q
m
k 1 +k 2
.
2) Dans ce cas la tension des deux ressorts est la même mais leur allongement Dl est différent.
Nous avons donc :
− →
T 1 = −k1Dl1 − → u x et
− →
T 2 = −k2Dl2 − → u x.
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3 Une sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de
longueur à vide l o . Elle est plongée dans un liquide de coefficient de viscosité h et
soumise alors à une force de frottement fluide donnée par la formule de Stokes :
− →
F = −6phr − → v
où − → v est la vitesse. Dans l’air, où les frottements fluides sont négligeables sur la
sphère, la période des oscillations est T o . Déterminer le coefficient de viscosité h en
fonction de m, r, T o et de la pseudo-période T des oscillations dans le fluide.
4 Un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 , prend une longueur L quand on lui
accroche un point matériel M de poids mg.
1) Exprimer la pulsation q des oscillations verticales de M.
2) Exprimer la pulsation p des petites oscillations d’un pendule de longueur L.
3) On considère les oscillations de M dans le plan vertical (xOy), avec Oy verticale
ascendante, au voisinage de la position d’équilibre O. Établir les équations différentielles du mouvement de M en supposant x et y comme des infiniment petits du 1
ier
ordre.
4) Intégrer ces équations. Quelle condition doivent vérifier p et q pour que le vecteur
−→
OM soit une fonction périodique ? Étudier le cas p/q = 1/2, v(t = 0) = 0, x(t = 0) = a
et y(t = 0) = b.
Solutions
1 1) Nous considérons le système constitué des deux ressorts. Si l’on exerce une force de tension
− →
T sur les deux ressorts, ils s’allongent de Dl. On en conclut que si − → u x est un vecteur unitaire
dans la direction verticale de l’allongement, alors
− →
T = −(k1 + k2)Dl − → u x.
La constante de raideur de ces deux ressorts est donc k1 + k2. Si l’on attache une masse m aux
deux ressorts cette masse sera soumise à :
• son poids
− →
P ;
• la tension
− →
T .
À l’équilibre le poids
− →
P compense la tension
− →
T et l’allongement des deux ressorts vérifie :
mg − → u x − (k1 + k2)Dl0 − → u x =
− →
0 .
On en déduit que le ressort équivalent à ces deux ressorts placés en parallèle a une raideur k
vérifiant k = k1 + k2.
Pour une position hors équilibre quelconque de la masse m et en prenant comme origine de
l’axe des x la position d’équilibre de la masse m, le principe fondamental de la dynamique
appliqué à la masse m conduit à :
mg − → u x − (k1 + k2) (Dl 0 + x) − → u x = m¨ x − → u x
qui, compte tenu de la condition d’équilibre, entraîne [m¨ x + (k1 + k2)x] − → u x =
− →
0 . Le vecteur
− → u x étant un vecteur unitaire cette équation devient :[m¨ x + (k1 + k2)x] = 0, ce qui est l’équation
différentielle d’un oscillateur harmonique de période propre T, T = 2p
q
m
k 1 +k 2
.
2) Dans ce cas la tension des deux ressorts est la même mais leur allongement Dl est différent.
Nous avons donc :
− →
T 1 = −k1Dl1 − → u x et
− →
T 2 = −k2Dl2 − → u x.