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Mécanique du point
R
d
C
P
r
x
H
S’
S
Figure 5.25
Le système est conservatif (par de frottement)
donc l’énergie mécanique se conserve et donc
la dérivée par rapport au temps est nulle. On
en déduit, sachant que la vitesse v ne peut pas
être identiquement nulle, :
mv
¨ x +
g
R
x
= 0 ⇒ ¨ x +
g
R
x = 0
C’est l’équation différentielle d’un oscillateur
harmonique
c) Mouvement sinusoïdal :x(t) = X M cos(vt+w)
X M et w dépendant des conditions initiales et v =
g
R
.
Pour t = 0, x(0) = HS =
R 2 − d 2 = X M cos w et ˙ x(0) = 0 = −vX M sin w
On en déduit :
R 2 − d 2 = X M avec w = 0 soit x(t) =
R 2 − d 2 cos vt avec v =
g
R
La période T : T = 2p
1
v
= 2p
R
g
(indépendant de la distance d). Cette période
appelée période de Schuler correspond à la période d’un pendule simple dont la longueur est égale au rayon de la Terre l = R. (T ≈ 84 minutes)
d) Vitesse maximale :
v = −v
R 2 − d 2 sin vt donc v max = v
R 2 − d 2 =
g
R
(R 2 − d 2 )
v max =
g
R
(R 2 − d 2 ) =
10
6,4.10 6 (6,4 2 − 5 2 )10 12 = 5.10
6 m.s
−1 = 5 000 km.s
−1
EXERCICES CORRIGÉS
1 1) On met en parallèle deux ressorts de même longueur, de constante de raideur
k 1 et k 2 et de masses négligeables. On exerce sur l’ensemble une force de tension T
qui se communique à chacun des ressorts et allonge l’ensemble de Dl. Déterminer la
constante de raideur équivalente à celle de ces deux ressorts. En déduire la période
propre des oscillations d’une masse m accrochée à ces deux ressorts (on considère que
les deux ressorts sont verticaux).
2) Mêmes questions si les deux ressorts sont maintenant placés bout à bout.
2 Un corps ponctuel de masse m est assujetti à glisser sans frottement sous l’action de
son poids sur un guide circulaire de rayon a. Déterminer la période T o de ses petits
mouvements autour de sa position d’équilibre.