Oscillateurs mécaniques
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En projection sur l’axe des x il vient :
m¨ x = −kx − av ⇒ ¨ x +
a
m
˙ x +
k
m
x = 0
(5.3)
Cette équation est une équation différentielle linéaire du deuxième degré. Les solutions
sont exponentielles ; en effet, il s’agit de trouver une fonction solution dont la dérivée
seconde et première sont proportionnelles à la fonction elle-même. Nous considérons
donc une solution du type :
x (t) = Ae
rt
Le report de cette solution dans l’équation différentielle conduit à :
∀t
r
2 +
a
m
r +
k
m
A e
rt = 0
r
2 +
a
m
r +
k
m
= 0
car une solution du type A = 0 n’est pas intéressante puisqu’elle correspond à l’immobilité
du pendule.
La dernière de ces équations s’appelle équation caractéristique de l’équation différentielle. Sa résolution permet de déterminer les solutions de l’équation différentielle dans
les différents régimes d’amortissement. Comme il s’agit d’une équation du second degré,
il importe de distinguer trois cas qui correspondent à la valeur positive, nulle ou négative
du discriminant. Le discriminant de cette équation s’écrit en faisant apparaître la pulsation propre de l’oscillateur :
D =
a
2
m 2 − 4
k
m
=
a
2
m 2 − 4v
2
0
Nous présentons dans le tableau 5.1, les trois cas qui sont donc à distinguer avec les solutions correspondantes de l’équation caractéristique et de l’équation différentielle.
D < 0
D = 0
D > 0
r ± = −
a
2m
± j
v
2
0 −
a 2
4m 2
r = −
a
2m
r ± = −
a
2m
±
a 2
4m 2 − v
2
0
x = x + + x −
x + = Ae
−
a
2m
t e
jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2
x − = Be
−
a
2m
t e
−jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2
x = (At + B)e
−
a
2m
t
x = x + + x −
x + = Ae
−
a
2m
t e
t
q
a 2
4m 2 −v
2
0
x − = Be
−
a
2m
t e
−t
q
a 2
4m 2 −v
2
0
Tableau 5.1 • Solutions de l’équation différentielle du mouvement de
l’oscillateur amorti pour un amortissement faible D < 0,
un amortissement critique D = 0 et un amortissement fort D > 0.
Nous étudions tout d’abord le cas très fréquent de l’amortissement faible.