118
Mécanique du point
y
u
→
a
b
h o
h 1
A
B
C
x
u
→
Figure 4.16
1) Dans le cas où la masse m glisse, si f représente la résultante des forces de frottement
et R n la réaction normale au support, on a la relation f = mR n .
Quelle relation a-t-on entre f , R n et m lorsque les frottements sont suffisants pour
maintenir la masse en équilibre ?
2) On se place dans le cas où la masse glisse. Faire le bilan des forces agissant sur la
masse m entre A et B. L’origine du repère choisi est le point A et AB correspond à l’axe
des abscisses (voir figure). Appliquer le principe fondamental de la dynamique et en
déduire :
a) l’accélération suivant AB de la masse m. Donner son expression en fonction de
g, a et w.
b) En déduire l’expression de la vitesse V B de la masse m au point B en fonction de
g, h o , a et w.
c) Y-a-t-il une condition portant sur l’angle de frottement w et l’angle a du plan
incliné pour que le mouvement puisse se produire ? Si oui, laquelle ?
d) Faire la même étude sur la partie BC et donner l’accélération de la masse sur BC.
Indiquer s’il existe une condition pour que le mouvement puisse se produire.
3) Que peut-on dire de l’énergie mécanique totale de la masse m ?
a) Exprimer les énergie cinétique E C (A) et potentielle E P (A) de la masse au point
de départ A. On choisira l’origine des énergies potentielles au point B. En déduire l’énergie mécanique E(A).
b) Exprimer les énergie cinétique E C (B) et potentielle E P (B) de la masse au point
d’arrivée B. En déduire l’énergie mécanique E(B).
c) Exprimer le travail de la force de frottement f entre A et B. donner l’expression
en fonction de m, g, h o , a et w.
d) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et en déduire l’expression de la
vitesse V B de la masse m au point B. Retrouver le résultat du 2) b).
4) Après le passage au point B à la vitesse V B , la masse remonte le plan incliné BC
(angle b avec l’horizontale). Le coefficient de frottement m = tan w reste le même.
On supposera que l’angle fait entre les deux plans ne perturbe pas le mouvement. La
masse s’arrête au point C.
a) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique entre B et C. Jusqu’à quelle hauteur h 1 la masse m remontera-t-elle ?. Donner l’expression de h 1 en fonction de
h o , a b et w.
b) Application. Montrer que pour a = b on a :
h 1 = h o
tan a − tan w
tan a + tan w
c) La masse étant arrêtée au point C, va-t-elle redescendre la pente BC
Mécanique du point
y
u
→
a
b
h o
h 1
A
B
C
x
u
→
Figure 4.16
1) Dans le cas où la masse m glisse, si f représente la résultante des forces de frottement
et R n la réaction normale au support, on a la relation f = mR n .
Quelle relation a-t-on entre f , R n et m lorsque les frottements sont suffisants pour
maintenir la masse en équilibre ?
2) On se place dans le cas où la masse glisse. Faire le bilan des forces agissant sur la
masse m entre A et B. L’origine du repère choisi est le point A et AB correspond à l’axe
des abscisses (voir figure). Appliquer le principe fondamental de la dynamique et en
déduire :
a) l’accélération suivant AB de la masse m. Donner son expression en fonction de
g, a et w.
b) En déduire l’expression de la vitesse V B de la masse m au point B en fonction de
g, h o , a et w.
c) Y-a-t-il une condition portant sur l’angle de frottement w et l’angle a du plan
incliné pour que le mouvement puisse se produire ? Si oui, laquelle ?
d) Faire la même étude sur la partie BC et donner l’accélération de la masse sur BC.
Indiquer s’il existe une condition pour que le mouvement puisse se produire.
3) Que peut-on dire de l’énergie mécanique totale de la masse m ?
a) Exprimer les énergie cinétique E C (A) et potentielle E P (A) de la masse au point
de départ A. On choisira l’origine des énergies potentielles au point B. En déduire l’énergie mécanique E(A).
b) Exprimer les énergie cinétique E C (B) et potentielle E P (B) de la masse au point
d’arrivée B. En déduire l’énergie mécanique E(B).
c) Exprimer le travail de la force de frottement f entre A et B. donner l’expression
en fonction de m, g, h o , a et w.
d) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et en déduire l’expression de la
vitesse V B de la masse m au point B. Retrouver le résultat du 2) b).
4) Après le passage au point B à la vitesse V B , la masse remonte le plan incliné BC
(angle b avec l’horizontale). Le coefficient de frottement m = tan w reste le même.
On supposera que l’angle fait entre les deux plans ne perturbe pas le mouvement. La
masse s’arrête au point C.
a) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique entre B et C. Jusqu’à quelle hauteur h 1 la masse m remontera-t-elle ?. Donner l’expression de h 1 en fonction de
h o , a b et w.
b) Application. Montrer que pour a = b on a :
h 1 = h o
tan a − tan w
tan a + tan w
c) La masse étant arrêtée au point C, va-t-elle redescendre la pente BC