Travail, puissance, énergie
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Solution
I. Étude énergétique
1) E PP (A) = mgh
E PP (M) = mgR(1 − cos u)
2) E m (A) = mgh
E m (M) =
1
2
mV
2
M + mgR(1 − cos u)
3) Le système conservatif (pas de frottement. E m (A) = E m (M).
4) E m (M) =
1
2
mV
2
M +mgR(1−cos u) = E m (A) = mgh ⇒
V
2
M
R
= 2g
h
R
− (1 − cos u)
(n˚ 1)
II. Cinématique
1)
− →
V M = R ˙
u − → u u . On a donc : V M = R ˙
u ⇒
V
2
M
R
= R ˙
u
2 (n˚ 2)
2) − → a M = −R ˙
u
2− → u r + R ¨
u − → u u soit a r = −
V
2
M
R
composante radiale de l’accélération.
III. Dynamique
1) Système : la masse M ; référentiel terrestre considéré galiléen.
Forces :
− →
P = m − → g = mg cos u − → u r − mg sin u − → u u et
− →
F = −F − → u r (réaction normale à
la piste car pas de frottement. Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
F = m − → a
2) En projection sur OM :
F − mg cos u = m
V
2
M
R
⇒
F
m
= g cos u +
V
2
M
R
(n˚ 3)
3)
F
m
= g cos u +
V
2
M
R
= g cos u + 2g
h
R
− 2g(1 − cos u) = 2g[
h
R
− 1 +
3
2
cos u]
4) u = p donne F minimale. La condition est donc : F min >0 soit :
F min 0 ⇒
h
R
1 −
3
2
cos p = 1 +
3
2
=
5
2
.
La hauteur minimale est donc de h =
5
2
R
Mouvement sur un plan incliné
On considère un petit bloc assimilable à un point matériel de masse m abandonné
sans vitesse initiale au point A d’un plan incliné comme l’indique la figure ci-après. Le
point A est à l’altitude h o . On suppose que le coefficient de frottement est le même sur
les deux plans et vaut m = tan w (w est appelé angle de frottement).
L’étude suivante se fera dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.