10 - Propagation des rayonnements : méthodes et codes de calcul
275
10.2.1. Forme intégro-différentielle de l’équation
du transport
La forme intégro-différentielle 1 est une équation de bilan dans un volume élémentaire de
l’espace des phases centré autour du point P( , E, ) de coordonnées ( , E, ) :
φ ( , E, ) + Σ t ( ,E) φ ( , E, ) =
∫ 4π d ∫ dE’ Σ s ( , E’ → E, → ) φ ( , E’, ) + S ( , E, )
où :
– le phénomène de disparition de la particule incidente par interaction avec la matière est
représenté par la section efficace macroscopique notée Σ t ( , E) : probabilité d’interaction
par unité de longueur (densité de probabilité d’interaction) de la particule à l’énergie E, au
point tous phénomènes confondus,
– le phénomène de diffusion modifie la direction et l’énergie de la particule ; il est représenté par la section efficace différentielle en angle et en énergie notée :
Σ s ( , E’ → E,
→ ) diffusion faisant passer la particule de l’énergie E’ à l’énergie E (E’
→ E) et de la direction
à la direction
(
→
),
– S( , E, ) représente la source de particules émises au point P( , E, ) par unité de
volume, par unité de temps, par unité d’énergie et par unité d’angle solide.
Ainsi, en régime stationnaire, dans le volume élémentaire de l’espace des phases (cellule
de l’espace des phases) centré autour du point P( , E, ), il y a égalité entre :
– la quantité de particules disparaissant de cette cellule de l’espace des phases par deux
phénomènes :
– les particules qui fuient du volume élémentaire de l’espace des phases centré autour
du point P( , E, ) à travers les surfaces physiques du volume : c’est le terme
φ ( , E, ) de l’équation,
– les particules qui quittent le volume élémentaire de l’espace des phases centré
autour du point P( , E,
) par toute interaction avec la matière (absorption,
diffusions…) : c’est le terme Σ t ( , E) φ ( , E, ),
– la quantité de particules apparaissant dans cette cellule de l’espace des phases par deux
phénomènes :
– les particules d’énergie E’ et de direction
présentes dans le volume élémentaire
de l’espace des phases centré autour du point P( , E, ) subissant une diffusion leur
donnant une énergie E et une direction , phénomène représenté par le premier
terme du second membre de l’équation :
∫ 4π d ∫ dE’ Σ s ( , E’ → E, → ) φ ( , E’, )
1 Afin d’alléger les notations, les bornes d’intégration en E’ sont omises. On a : E ≤ E’ ≤ E max = 20 MeV par
exemple.
r
⍀
r
⍀
⍀ grad
и
r
⍀
r
r
⍀
⍀
r
⍀Ј
⍀
r
⍀Ј
r
⍀
r
r
r
⍀Ј
⍀
⍀Ј
⍀ ⍀Ј
⍀
r
⍀
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и
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r
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r
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10.2.1. Forme intégro-différentielle de l’équation
du transport
La forme intégro-différentielle 1 est une équation de bilan dans un volume élémentaire de
l’espace des phases centré autour du point P( , E, ) de coordonnées ( , E, ) :
φ ( , E, ) + Σ t ( ,E) φ ( , E, ) =
∫ 4π d ∫ dE’ Σ s ( , E’ → E, → ) φ ( , E’, ) + S ( , E, )
où :
– le phénomène de disparition de la particule incidente par interaction avec la matière est
représenté par la section efficace macroscopique notée Σ t ( , E) : probabilité d’interaction
par unité de longueur (densité de probabilité d’interaction) de la particule à l’énergie E, au
point tous phénomènes confondus,
– le phénomène de diffusion modifie la direction et l’énergie de la particule ; il est représenté par la section efficace différentielle en angle et en énergie notée :
Σ s ( , E’ → E,
→ ) diffusion faisant passer la particule de l’énergie E’ à l’énergie E (E’
→ E) et de la direction
à la direction
(
→
),
– S( , E, ) représente la source de particules émises au point P( , E, ) par unité de
volume, par unité de temps, par unité d’énergie et par unité d’angle solide.
Ainsi, en régime stationnaire, dans le volume élémentaire de l’espace des phases (cellule
de l’espace des phases) centré autour du point P( , E, ), il y a égalité entre :
– la quantité de particules disparaissant de cette cellule de l’espace des phases par deux
phénomènes :
– les particules qui fuient du volume élémentaire de l’espace des phases centré autour
du point P( , E, ) à travers les surfaces physiques du volume : c’est le terme
φ ( , E, ) de l’équation,
– les particules qui quittent le volume élémentaire de l’espace des phases centré
autour du point P( , E,
) par toute interaction avec la matière (absorption,
diffusions…) : c’est le terme Σ t ( , E) φ ( , E, ),
– la quantité de particules apparaissant dans cette cellule de l’espace des phases par deux
phénomènes :
– les particules d’énergie E’ et de direction
présentes dans le volume élémentaire
de l’espace des phases centré autour du point P( , E, ) subissant une diffusion leur
donnant une énergie E et une direction , phénomène représenté par le premier
terme du second membre de l’équation :
∫ 4π d ∫ dE’ Σ s ( , E’ → E, → ) φ ( , E’, )
1 Afin d’alléger les notations, les bornes d’intégration en E’ sont omises. On a : E ≤ E’ ≤ E max = 20 MeV par
exemple.
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