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R. Plane1
l'optique, le remplissage des zéolithes ou des opales. Il y a aussi l'exemple des techniques solgel qui permettent de réaliser des nanocristaux noyés dans une matrice transparente.
3.1.4 La théorie EFA (Approximation de la Fonction Enveloppe).
C'est un peu par provocation que je cite une théorie parmi les fondements qui ont rendu
possible le développement des hétérostructures. Bien entendu, c'est une théorie limitée,
nécessairement approximative, parmi d'autres plus fondamentales, plus proches des premiers
principes. Mais elle a d'abord le mérite d'être intuitive et utilisable quantitativement par tout
expérimentateur. Ensuite elle fournit dans la plupart des cas des résultats numériques de
précision suffisante, nous verrons plus loin pourquoi. C'est donc par excellence l'outil de
<< l'Ingénieur en Structure de Bande », car, en ce domaine, il n'y a guère eu de réalisation sans
prévision.
Il est utile dès maintenant den présenter le principe sur le cas simple dune bande
présentant un extremum non dégénéré en k = O, par exemple la bande de conduction de GaAs
et de G%,,Alo,3As. Nous avons vu (éq.2.1) que la forme générale des fonctions d'onde (de
Bloch) du cristal infini était :
où 1 est l'indice de l'extremum et où uL,k(r)est périodique, comme le potentiel du cristal,
donc rapidement variable à l'échelle de la maille élémentaire. Dans la région de l'espace des k
proche de l'extremum k = O, il est raisonnable de supposer que les fonctions u ~ , k
(r) ne
dépendent pas de k : uh,k(r) = uL,o(r). De plus, l'exponentielle eik.r, appelée fonction
enveloppe, est alors lentement variable, et l'énergie des états suit une loi parabolique de masse
effective E = Azkz /2m. On peut donc considérer que tout se passe comme si l'électron se
déplaçait dans l'espace libre, avec une fonction enveloppe qui joue le rôle de sa fonction
d'onde, à deux détails d'importance près : la masse effective m, et l'énergie potentielle, égale à
l'énergie de l'extremum.
Dans une hétérostructure, par exemple un puits quantique bidimensionnel de largeur L
formé du matériau A entre deux barrières du matériau B, l'approximation de la fonction
enveloppe consiste à écrire les fonctions donde sous la forme :
(3.1)
où h , n ( r ) est lentement variable, et n représente l'ensemble des nombres quantiques qui
labellent l'état, comme le faisait le vecteur d'onde dans le matériau massif. Cette fonction
enveloppe est fonction propre du hamiltonien effectif H(r) = - A 2 V /2m,ff.(z) + Veff.(z),
avec une énergie potentielle et une masse effective dépendant de z, la direction de croissance.
La signification de cette forme de fonction d'onde est illustrée par la figure 3.3. Ceci repose
sur l'hypothèse, forte, que les fonctions rapidement variables sont non seulement
indépendantes de k, mais aussi les mêmes dans les deux matériaux :
v a , k (r) = V-1'2 eik.r U&,k (r)
R , n (r) = 5 , n (r) UL,O (r)
(r) =
(r)
(3.2)
Une autre approche pour introduire I'EFA, parfaitement complémentaire, est encore plus
parlante. Elle repose sur l'écriture de la fonction d'onde sur la base des fonctions de Wannier
(Cf. paragraphe 2.2.4.2) :
R. Plane1
l'optique, le remplissage des zéolithes ou des opales. Il y a aussi l'exemple des techniques solgel qui permettent de réaliser des nanocristaux noyés dans une matrice transparente.
3.1.4 La théorie EFA (Approximation de la Fonction Enveloppe).
C'est un peu par provocation que je cite une théorie parmi les fondements qui ont rendu
possible le développement des hétérostructures. Bien entendu, c'est une théorie limitée,
nécessairement approximative, parmi d'autres plus fondamentales, plus proches des premiers
principes. Mais elle a d'abord le mérite d'être intuitive et utilisable quantitativement par tout
expérimentateur. Ensuite elle fournit dans la plupart des cas des résultats numériques de
précision suffisante, nous verrons plus loin pourquoi. C'est donc par excellence l'outil de
<< l'Ingénieur en Structure de Bande », car, en ce domaine, il n'y a guère eu de réalisation sans
prévision.
Il est utile dès maintenant den présenter le principe sur le cas simple dune bande
présentant un extremum non dégénéré en k = O, par exemple la bande de conduction de GaAs
et de G%,,Alo,3As. Nous avons vu (éq.2.1) que la forme générale des fonctions d'onde (de
Bloch) du cristal infini était :
où 1 est l'indice de l'extremum et où uL,k(r)est périodique, comme le potentiel du cristal,
donc rapidement variable à l'échelle de la maille élémentaire. Dans la région de l'espace des k
proche de l'extremum k = O, il est raisonnable de supposer que les fonctions u ~ , k
(r) ne
dépendent pas de k : uh,k(r) = uL,o(r). De plus, l'exponentielle eik.r, appelée fonction
enveloppe, est alors lentement variable, et l'énergie des états suit une loi parabolique de masse
effective E = Azkz /2m. On peut donc considérer que tout se passe comme si l'électron se
déplaçait dans l'espace libre, avec une fonction enveloppe qui joue le rôle de sa fonction
d'onde, à deux détails d'importance près : la masse effective m, et l'énergie potentielle, égale à
l'énergie de l'extremum.
Dans une hétérostructure, par exemple un puits quantique bidimensionnel de largeur L
formé du matériau A entre deux barrières du matériau B, l'approximation de la fonction
enveloppe consiste à écrire les fonctions donde sous la forme :
(3.1)
où h , n ( r ) est lentement variable, et n représente l'ensemble des nombres quantiques qui
labellent l'état, comme le faisait le vecteur d'onde dans le matériau massif. Cette fonction
enveloppe est fonction propre du hamiltonien effectif H(r) = - A 2 V /2m,ff.(z) + Veff.(z),
avec une énergie potentielle et une masse effective dépendant de z, la direction de croissance.
La signification de cette forme de fonction d'onde est illustrée par la figure 3.3. Ceci repose
sur l'hypothèse, forte, que les fonctions rapidement variables sont non seulement
indépendantes de k, mais aussi les mêmes dans les deux matériaux :
v a , k (r) = V-1'2 eik.r U&,k (r)
R , n (r) = 5 , n (r) UL,O (r)
(r) =
(r)
(3.2)
Une autre approche pour introduire I'EFA, parfaitement complémentaire, est encore plus
parlante. Elle repose sur l'écriture de la fonction d'onde sur la base des fonctions de Wannier
(Cf. paragraphe 2.2.4.2) :