Effets non linéaires en optique guidée
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transverse (x). Dans le cas temporel il s'agira de t et de z. En régime linéaire une
décomposition en ondes planes, caractérisées par la composante transverse k, du vecteur
donde, permet de décrire la propagation dun faisceau dont l'amplitude du champ électrique
est notée a(z,x) :
La composante longitudinale p du vecteur donde est elle-même une fonction de k, dont on
peut obtenir une expression approchée :
d j
d2P
1
-
1
P(k,)=Jk-=k,--k:
soit -=O,
2--2ko
dk,
dk,
ko
Une transformation de Fourier de (13) en tenant compte de (14) donne l'équation dévolution
spatio-temporelle de l'amplitude de l'onde :
1 aZa
i - a a(z, x) + -- = 0
at
2k, ax2
il reste à tenir compte du déphasage non linéaire qui est défini dans l'espace réel par :
pour obtenir l'équation d'évolution non linéaire, appelée Schrodinger non linéaire :
i-a(z,x)+--+ICla12a a
1 d'a
= O
aZ
2k0 ax2
Dans le cas des solitons temporels, k, doit être remplacé par w dans les équations (13)
et (14) qui deviennent :
(18)
d
-a(z,w) = ip(o)a(z,w)
dz
L'équation d'évolution dune impulsion temporelle dans un milieu dispersif obéit à
l'équation (20) formellement équivalente à (17) :
a
P 2 a2a
i-a(z, t ) - -- + Kla12 a = O
az
2 at2
On voit toutefois apparaître une différence entre solitons spatiaux et temporels, avec le
signe du terme non linéaire. il est toujours positif dans le cas spatial (la divergence ne peut
faire que s'étaler un faisceau) alors qu'il peut être positif ou négatif dans le cas temporel
suivant le signe de p2. De là découle le fait déjà mentionné, que les solitons temporels peuvent
exister quel que soit le signe de n2.
L'équation de Schrodinger non linéaire supporte des solutions particulières qui se
propagent sans déformation, appelées ondes solitaires. Dans ce cas, il est possible de montrer
que l'équation de Schrodinger non linéaire est intégrable et on peut parler de solitons.
On déduit respectivement des équations (17) et (20) l'expression du champ associée au
soliton brillant fondamental qui constitue une solution particulière de ces équations. Prenons
l'exemple du cas temporel (le cas spatial étant analogue) :
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transverse (x). Dans le cas temporel il s'agira de t et de z. En régime linéaire une
décomposition en ondes planes, caractérisées par la composante transverse k, du vecteur
donde, permet de décrire la propagation dun faisceau dont l'amplitude du champ électrique
est notée a(z,x) :
La composante longitudinale p du vecteur donde est elle-même une fonction de k, dont on
peut obtenir une expression approchée :
d j
d2P
1
-
1
P(k,)=Jk-=k,--k:
soit -=O,
2--2ko
dk,
dk,
ko
Une transformation de Fourier de (13) en tenant compte de (14) donne l'équation dévolution
spatio-temporelle de l'amplitude de l'onde :
1 aZa
i - a a(z, x) + -- = 0
at
2k, ax2
il reste à tenir compte du déphasage non linéaire qui est défini dans l'espace réel par :
pour obtenir l'équation d'évolution non linéaire, appelée Schrodinger non linéaire :
i-a(z,x)+--+ICla12a a
1 d'a
= O
aZ
2k0 ax2
Dans le cas des solitons temporels, k, doit être remplacé par w dans les équations (13)
et (14) qui deviennent :
(18)
d
-a(z,w) = ip(o)a(z,w)
dz
L'équation d'évolution dune impulsion temporelle dans un milieu dispersif obéit à
l'équation (20) formellement équivalente à (17) :
a
P 2 a2a
i-a(z, t ) - -- + Kla12 a = O
az
2 at2
On voit toutefois apparaître une différence entre solitons spatiaux et temporels, avec le
signe du terme non linéaire. il est toujours positif dans le cas spatial (la divergence ne peut
faire que s'étaler un faisceau) alors qu'il peut être positif ou négatif dans le cas temporel
suivant le signe de p2. De là découle le fait déjà mentionné, que les solitons temporels peuvent
exister quel que soit le signe de n2.
L'équation de Schrodinger non linéaire supporte des solutions particulières qui se
propagent sans déformation, appelées ondes solitaires. Dans ce cas, il est possible de montrer
que l'équation de Schrodinger non linéaire est intégrable et on peut parler de solitons.
On déduit respectivement des équations (17) et (20) l'expression du champ associée au
soliton brillant fondamental qui constitue une solution particulière de ces équations. Prenons
l'exemple du cas temporel (le cas spatial étant analogue) :