200
J.-P. Brison
R(d) · R(u)
= (d · ˆ
)(u · ˆ
)
+ cos
2
d·u − (d · ˆ
)(u · ˆ
) −
(u · ˆ
)(d · ˆ
) +
(d · ˆ
)(u · ˆ
)
+ sin
2
ˆ
· (d ∧ ( ˆ
∧ u))
+ sin cos
d · ( ˆ
∧ u) +
u · ( ˆ
∧ d)
= (d · ˆ
)(u · ˆ
)
+ cos
2
d·u − (d · ˆ
)(u · ˆ
)
+ sin
2
d·u − (d · ˆ
(u · ˆ
)
R(d) · R(u) = d·u.
6.11.3 Conservation of the Cross Product under Rotation
with the Definition (6.11)
We want to check if R(u ∧ d) = R(u) ∧ R(d). To evaluate R(u ∧ d), let us decompose u ∧ d in parallel and perpendicular parts to (called (ud) and (ud) ⊥ )
u ∧ d = ( ( ( ( ( (
((ud) ∧ d ) + ((ud) ⊥ ∧ d ⊥ )
(ud)
+ ((ud) ∧ d ⊥ ) − (d ∧ (ud) ⊥ )
(ud) ⊥
= [(u ∧ d) · ˆ
] ˆ
(ud)
+
(u · ˆ
) ˆ
∧ d ⊥
−
(d · ˆ
) ˆ
∧ u ⊥
(ud) ⊥
R(u ∧ d) = (ud) + R ((ud) ⊥ )
R((ud) ⊥ )
= cos (ud) ⊥ + sin ˆ
∧ (ud) ⊥
= (u · ˆ
) ˆ
∧
cos d + sin ˆ
∧ d
− (d · ˆ
) ˆ
∧
cos u + sin ˆ
∧ u
= (u · ˆ
) ˆ
∧ R(d) − (d · ˆ
) ˆ
∧ R(u)
= (R(u) · ˆ
) ˆ
∧ R(d) − (R(d) · ˆ
) ˆ
∧ R(u)
= ˆ
∧
ˆ
∧ (R(d) ∧ R(u))
R(u ∧ d) = R(u) ∧ R(d) + (ud) − (R(u) ∧ R(d))