E.1 General Properties of Quaternions
459
Example F.1 (A Quaternion Determinant)
The quaternion determinant for the 4×4 quaternion,
¯
Q 4 =
⎛
⎜
⎜
⎝
¯
q 1,1 ¯
q 1,2 ¯
q 1,3 ¯
q 1,4
¯
q 2,1 ¯
q 2,2 ¯
q 2,3 ¯
q 2,4
¯
q 3,1 ¯
q 3,2 ¯
q 3,3 ¯
q 3,4
¯
q 4,1 ¯
q 4,2 ¯
q 4,3 ¯
q 4,4
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
(E.19)
can be written
Qdet[ ¯
Q 4 ] = ¯
q 1,1 · ¯
q 2,2 · ¯
q 3,3 · ¯
q 4,4 − ( ¯
q 1,2 · ¯
q 2,1 )· ¯
q 3,3 · ¯
q 4,4
− ¯
q 1,1 ·( ¯
q 2,3 · ¯
q 3,2 )· ¯
q 4,4 − ¯
q 1,1 · ¯
q 2,2 ·( ¯
q 3,4 · ¯
q 4,3 )
− ¯
q 1,1 · ¯
q 3,3 ·( ¯
q 2,4 · ¯
q 4,2 ) − ( ¯
q 1,3 · ¯
q 3,1 )· ¯
q 2,2 · ¯
q 4,4
−( ¯
q 1,4 · ¯
q 4.1 )· ¯
q 2,2 · ¯
q 3,3 + ( ¯
q 1,2 · ¯
q 2,1 )· ( ¯
q 3,4 · ¯
q 4,3 )
+( ¯
q 1,4 · ¯
q 4,1 )· ( ¯
q 2,3 · ¯
q 3,2 ) + ( ¯
q 1,3 · ¯
q 3,1 )· ( ¯
q 2,4 · ¯
q 4,2 )
+ ¯
q 1,1 ·( ¯
q 2,3 · ¯
q 3,4 · ¯
q 4,2 + ¯
q 2,4 · ¯
q 4,3 · ¯
q 3,2 )
+ ¯
q 2,2 ·( ¯
q 1,3 · ¯
q 3,4 · ¯
q 4,1 + ¯
q 1,4 · ¯
q 4,3 · ¯
q 3,1 )
+ ¯
q 3,3 ·( ¯
q 1,2 · ¯
q 2,4 · ¯
q 4,1 + ¯
q 1,4 · ¯
q 4,2 · ¯
q 2,1 )
+ ¯
q 4,4 ·( ¯
q 1,2 · ¯
q 2,3 · ¯
q 3,1 + ¯
q 1,3 · ¯
q 3,2 · ¯
q 2,1 )
−( ¯
q 1,2 · ¯
q 2,3 · ¯
q 3,4 · ¯
q 4,1 + ¯
q 1,4 · ¯
q 4,3 · ¯
q 3,2 · ¯
q 2,1 )
−( ¯
q 1,3 · ¯
q 3,2 · ¯
q 2,4 · ¯
q 4,1 + ¯
q 1,4 · ¯
q 4,2 · ¯
q 2,3 · ¯
q 3,1 )
−( ¯
q 1,2 · ¯
q 2,4 · ¯
q 4,3 · ¯
q 3,1 + ¯
q 1,3 · ¯
q 3,4 · ¯
q 4,2 · ¯
q 2,1 )
= C 4
1 0
0 1
.
(E.20)
Each closed cycle is a 2×2 diagonal matrix, so the closed cycles commute with each
other. In the equation above, the pairs of cycles and reverse cycles have been enclosed in
brackets. The quaternion determinant in Eq. (E.20) adds up to a constant times the 2×2 unit
matrix.
Example F.2 (A Self-Dual Quaternion)
Let us consider the self-dual 3×3 quaternion,
¯
Q 3 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
0
7+ i5 4 + i6 3 + i9 2 + i6
0
2
−4 + i6 7 − i5 −2 + i6 3 − i9
7 − i5 −4 − i6
3
0
4+ i8 1 + i5
4 − i6 7 + i5
0
3
−1 + i5 4 − i8
3 − i9 −2 − i6 4 − i8 −1 − i
1
0
2 − i6 3 + i9 1− i5 4 + i8
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
(E.21)
The determinant of the 6×6 matrix ¯
Q 3 is
Det[ ¯
Q 3 ] = 1416100 = (1190)
2 .
(E.22)