ln ψ ¼ ln
γ þ 1
γ À 1
þ
3
γ À 1
ln η À
2 γ þ 5
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln
γ þ 1 À η
nÀ1
γ
!
,
ð5:46Þ
which can be finally written as
ψ η
ð Þ ¼
γ þ 1
γ À 1
η
3
γÀ1
γ þ 1 À η
nÀ1
γ
! À2
γþ5
7Àγ
ð Þ
,
ð5:47Þ
where n ¼ (7γ À 1)/(γ
2
À 1).
5.12 The Density for Small Values of η
If η is small let us expand Eq. (5.46) above; leading to;
ln ψ ¼ ln
γ þ 1
γ À 1
þ
3
γ À 1
ln η À
2 γ þ 5
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln 1 À
η
nÀ1
γ þ 1
γ þ 1
γ
!
¼ ln
γ þ 1
γ À 1
þ
3
γ À 1
ln η À
2 γ þ 5
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln
γ þ 1
γ
þ ln 1 À
η
nÀ1
γ þ 1
!
:
Now n À 1 ¼ γ(7 À γ)/(γ
2
À 1), and with γ ¼ 1.4 we find that n À 1 % 8, hence we
can neglect the term, ln(1 À η
n À 1
/(γ + 1)) for small values of η in comparison to the
other terms appearing in the latter equation, hence,
ln ψ ¼ ln
γ þ 1
γ À 1
À
2 γ þ 5
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln
γ þ 1
γ
þ
3
γ À 1
ln η:
ð5:48Þ
Taylor [4] defines D according to the equation,
ln D ¼ ln
γ þ 1
γ À 1
À
2 γ þ 5
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln
γ þ 1
γ
,
ð5:49Þ
and with γ ¼ 1.4 we find that D ¼ 1.75 and, accordingly, we obtain
ln ψ ¼ ln D þ ln η
3
γÀ1 ,
so that
ψ η
ð Þ ¼ 1:75η
7:5
:
ð5:50Þ
A comparison of the approximate analytical formulae for the pressure, gas
velocity and density with the exact numerical values are shown plotted in Fig. 5.7.
5.12 The Density for Small Values of η
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