Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Compositions of Rheological Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1 Serial Arrangement of ERMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2 Parallel Arrangement of ERMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3 Arrangement of Serial-CRMs and Parallel-CRMs . . . . . . .
7
1.2.4 Serial Arrangement of ERMs and Parallel-CRMs . . . . . . .
8
1.2.5 Parallel Arrangement of ERMs and Serial-CRMs . . . . . . . 10
1.3 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Modelling Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Dissipation Consistent Material Modelling . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Computational Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Constitutive Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Mathematical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Heaviside Function and Causal Signals . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Laplace Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Complex Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.4 Legendre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Hooke Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.1 Specific Hooke Model: Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2 Specific Hooke Model: Algorithmic Update . . . . . . . . . . . 71
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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Compositions of Rheological Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Serial Arrangement of ERMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2 Parallel Arrangement of ERMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3 Arrangement of Serial-CRMs and Parallel-CRMs . . . . . . .
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1.2.4 Serial Arrangement of ERMs and Parallel-CRMs . . . . . . .
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1.2.5 Parallel Arrangement of ERMs and Serial-CRMs . . . . . . . 10
1.3 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Modelling Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Dissipation Consistent Material Modelling . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Computational Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Constitutive Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Mathematical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Heaviside Function and Causal Signals . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Laplace Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Complex Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.4 Legendre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Hooke Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.1 Specific Hooke Model: Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2 Specific Hooke Model: Algorithmic Update . . . . . . . . . . . 71
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