Contents
1 Brownian Ratchets and Molecular Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 The Force-Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.1 Maximum Driving Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.2 Stall Force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Smoluchowski-Feynman’s Ratchet as a Heat Engine. . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1 Parrondo Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3 Ratchet Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4 Ratchet Coherency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 First Passage Time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6 Power Stroke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 The Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 The Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 The Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Discretization of the Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Forward Time Central Space (FTCS) Method . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Crank-Nicholson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Program 2.1, F-P Equation, Matlab Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Biased Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Parametrization of the Langevin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Building the Fokker-Plank’s Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Periodic Potential Slightly Tilted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Dichotomous Markov Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Generating Dichotomous Markov Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Fluctuating Potential, or “Flashing” Ratchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Fluctuating Force, or “Rocking” Ratchet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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1 Brownian Ratchets and Molecular Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 The Force-Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.1 Maximum Driving Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.2 Stall Force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Smoluchowski-Feynman’s Ratchet as a Heat Engine. . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Parrondo Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 Ratchet Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 Ratchet Coherency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 First Passage Time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6 Power Stroke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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2 The Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 The Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 The Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Discretization of the Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Forward Time Central Space (FTCS) Method . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Crank-Nicholson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Program 2.1, F-P Equation, Matlab Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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3 Biased Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Parametrization of the Langevin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Building the Fokker-Plank’s Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Periodic Potential Slightly Tilted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Dichotomous Markov Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Generating Dichotomous Markov Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Fluctuating Potential, or “Flashing” Ratchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Fluctuating Force, or “Rocking” Ratchet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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