Contents
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8 Quantum Ratchets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1 The Quantum Langevin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1.1 The Correlation Quantum Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 The Quantum Overdamped Langevin Equation with
Colored Noise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.3 The Quantum Underdamped Langevin Equation . . . . . . . . . . . . 130
8.1.4 The Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.1 Program 8.1a, Moderate Damping, Matlab Code . . . . . . . . . . . . 140
8.2.2 Program 8.1b, Complete Langevin Equation, Matlab
Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Appendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.1 Transition Rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.2 Probability Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.3 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.4 Poisson’s Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.1.5 Detailed Balance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Appendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B.1 Information Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Appendix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.1 Endoreversible Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Appendix D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.1 First Passage Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.1.1 Properties of First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.1.2 Application to Chemical Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Appendix E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1 Stochastic Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1.1 White Noise and Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1.2 Spectral Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1.3 Properties of Wiener’s Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
E.1.4 Stochastic Process Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
E.1.5 SDE with Aditive Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
E.1.6 SDE with Multiplicative Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
E.1.7 Itô’s and Stratonovich’s Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
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8 Quantum Ratchets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1 The Quantum Langevin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1.1 The Correlation Quantum Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 The Quantum Overdamped Langevin Equation with
Colored Noise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.3 The Quantum Underdamped Langevin Equation . . . . . . . . . . . . 130
8.1.4 The Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.1 Program 8.1a, Moderate Damping, Matlab Code . . . . . . . . . . . . 140
8.2.2 Program 8.1b, Complete Langevin Equation, Matlab
Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Appendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.1 Transition Rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.2 Probability Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.3 Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.4 Poisson’s Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.1.5 Detailed Balance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Appendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B.1 Information Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Appendix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.1 Endoreversible Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Appendix D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.1 First Passage Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.1.1 Properties of First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.1.2 Application to Chemical Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Appendix E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1 Stochastic Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1.1 White Noise and Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1.2 Spectral Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E.1.3 Properties of Wiener’s Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
E.1.4 Stochastic Process Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
E.1.5 SDE with Aditive Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
E.1.6 SDE with Multiplicative Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
E.1.7 Itô’s and Stratonovich’s Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174