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LE VERRE
Dans le cas de l’élément de Maxwell, on obtient par intégration de l’équation (A5.1) :
σ(t) = G ε(0) exp
−
t
τ
soit :
σ(t) = σ(0) exp
−
t
τ
·
(A5.2)
Le rapport Ψ(t) = σ(t)/σ(0) est appelé fonction de relaxation de la
contrainte. On voit que dans le cas de l’élément de Maxwell, il s’agit d’une
simple exponentielle.
Un comportement viscoélastique quelconque peut être représenté par
n éléments de Maxwell en parallèle, supportant chacun une part de la
contrainte totale σ(t). C’est l’élément de Maxwell généralisé (Fig. A5.2). La
fonction de relaxation qui lui correspond est une somme d’exponentielles
qui s’écrit :
Ψ(t) =
σ(t)
σ(0)
=
n
i=1
σ i (t)
σ(0)
=
n
i=1
w i e
−t/τ i
(A5.3)
avec
n
i=1
w i = 1.
Lorsqu’on adopte l’élément de Maxwell généralisé, on suppose implicitement que la relaxation de la contrainte dans la substance étudiée est la
somme de processus relaxationnels caractérisés chacun par un facteur
de pondération et un temps de relaxation.
Si l’on suppose que le temps τ de relaxation de la contrainte varie
continûment et peut prendre n’importe quelle valeur, on peut envisager,
pour sa distribution une fonction continue F (τ). La fonction de relaxation
s’écrit alors :
Ψ(t) =
∞
0
F (τ) e
−t/τ dτ.
( A 5 . 4 )
Puisque Ψ(0) = 1, on a :
∞
0
F (τ) dτ = 1.
Comme les temps de relaxation couvrent plusieurs ordres de grandeur, on préfère souvent prendre ln τ comme variable au lieu de τ. En
posant alors τ F (τ) = H(τ) et sachant que dτ = τ d(ln τ), l’équation (A5.4)
peut s’écrire :
Ψ(t) =
+∞
−∞
H(ln τ) e
−t/τ d(ln τ).
(A5.5)
On appelle F (τ) et H(ln τ), les spectres des temps de relaxation. L’intégrale :
τ =
+∞
−∞
τ H(ln τ) d(ln τ)