Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires discrètes
On en déduit
Cov(Y, Z) = E(YZ) − E(Y )E(Z) =
1
pq
−
2(p
2 + q
2 )
pq
=
(p + q)
2
− 2(p
2 + q
2 )
pq
= −
(p − q)
2
pq
·
4. Si les variables Y et Z sont indépendantes, on a Cov(Y, Z) = 0 donc p = q =
1
2
·
Supposons réciproquement que p = q =
1
2
· On a alors, pour tout (i, j) ∈ (N
∗ )
2 ,
P([X = i] ∩ [Y = j]) = 2
1
2
i+j+1
=
1
2
i+j
.
On a déjà démontré que dans ce cas P([X = i]) =
1
2
i
et P([Y = j]) =
1
2
j
. On a
donc
P([X = i] ∩ [Y = j]) = P([X = i])P([Y = j]).
Les variables Y et Z sont indépendantes.
10.
1. La variable aléatoire T n représente l’effet du n-ième saut sur l’abscisse de la puce.
On a T n (V) = {−1, 0, 1}, P([T n = −1]) = P([T n = 1]) =
1
4
et P([T n = 0] =
1
2
· En
effet, [T n = 0] signifie que le saut est effectué vers le nord ou le sud, [T n = −1] qu’il est
effectué vers l’ouest et [T n = 1] qu’il est effectué vers l’est. On a donc E(T n ) = 0.
Par linéarité de l’espérance, on en déduit que E(X n ) − E(X n−1 ) = 0 pour tout n 1. La
suite (E(X n )) est constante et comme M 0 = O, X 0 = 0 donc E(X 0 ) = 0. On a donc, pour
tout n ∈ N, E(X n ) = 0.
Pour calculer E(X
2
n ), on écrit X
2
n = X
2
n−1 + T
2
n + 2X n−1 T n . On obtient par linéarité de
l’espérance
E(X
2
n ) = E(X
2
n−1 ) + E(T
2
n ) + 2E(X n−1 T n ).
La variable X n−1 ne dépend que du résultat des n − 1 premiers sauts : en fait, on
a X n−1 = T 1 + · · · + T n−1 . On suppose que les résultats des différents sauts sont
indépendants, c’est-à-dire que les variables (T k ) sont indépendantes. On en déduit
que X n−1 = T 1 + · · · + T n−1 et T n sont indépendantes. On a donc
E(X n−1 T n ) = E(X n−1 )E(T n ) = 0.
D’autre part, on a T
2
n (V) = {0, 1}, P([T
2
n = 1]) = P([T n = −1]] + P([T n = −1]) =
1
2
et
P([T
2
n = 0]) = P([T n = 0]) =
1
2
· On en déduit E(T
2
n ) =
1
2
et
E(X
2
n ) = E(X
2
n−1 ) +
1
2
·
550