Chapitre 7 – Espaces probabilisés
b. S’il existe p 0 k tel que P(A p ) = 0, alors
N
p=k
P(A p ) = 0 si N p 0 et
lim
N→+∞
N
p=k
P(A p ) = 0.
On suppose dorénavant que P(A p ) = 0 si p k et on prend le logarithme de l’expression considérée : ln
⎛
⎝
N
p=k
P(A p )
⎞
⎠ =
N
p=k
ln
P(A p )
. On considère la série de terme
général P(A p ). Elle est à termes négatifs car P(A p ) ∈ ]0, 1].
∗ Si la suite
P(A p )
pk
ne converge pas vers 1, la suite
ln
P(A p )
pk
ne tend pas
vers 0 et la série diverge trivialement.
∗ Si la suite
P(A p )
pk
converge vers 1, on a
− ln
P(A p )
∼
p→+∞
−(P(A p ) − 1) ∼
p→+∞
P(A p ).
La série de terme général P(A p ) diverge, donc d’après le théorème de comparaison des
séries à termes positifs, il en est de même de la série de terme général − ln
P(A p )
et
donc de la série de terme général ln
P(A p )
.
Dans tous les cas, la série de terme général ln
P(A p
diverge. Comme c’est une
série est à termes négatifs, ses sommes partielles tendent vers −∞. On a donc
lim
N→+∞
N
p=k
ln
P(A p )
= −∞. Comme la limite de exp en −∞ est 0, on obtient par
le théorème de composition des limites,
lim
N→+∞
N
p=k
P(A p ) = 0.
c. On a, pour tout N k,
0 P(C k )
N
p=k
P(A p ).
En faisant tendre N vers +∞, on obtient P(C k ) = 0.
On a B =
+∞
k=0
P
C k
. La série de terme général P
C k
converge (c’est la série nulle).
On obtient de l’inégalité de Boole
P
B
+∞
k=0
P
C k
0,
d’où l’on déduit P
B
= 0, c’est-à-dire P(B) = 1.
4. On considère, pour tout n ∈ N
∗ , l’événement A n : « le n-ième lancer donne pile » et l’événements B : « pile apparaît une infinité de fois ». La suite (A n ) est constituée d’événements
indépendants. Pour tout n ∈ N
∗ , P(A n ) = p > 0, donc la série de terme général P(A n )
diverge. D’après la question 2, on a P(B) = 1, ce qui est le résultat demandé.
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