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SOLUTIONS
Solutions
2. On a montré dans l’exercice 1 que P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P
n
k=0
A k
. D’après la question
1, on a, pour tout n ∈ N,
P
n
k=0
A k
n
k=0
P(A k ).
La série de terme général P(A k ) converge donc le membre de droite de l’inégalité a une
limite fini quand n tend vers +∞. Par passage à la limite, on obtient
P
+∞
n=0
A n
+∞
k=0
P(A k ).
12.
1. Considérons l’événement contraire B : « seul un nombre fini d’événements A n
se réalisent », ce qui peut encore s’énoncer « pour n assez grand, A n ne se réalise pas ». On
a donc, pour tout v ∈ V,
v ∈ B ⇐⇒ ∃k ∈ N, ∀n k, v ∈ A n ⇐⇒ ∃k ∈ N, v ∈
nk
A n ⇐⇒ v ∈
k∈N
nk
A n .
On a donc B =
k∈N
nk
A n , d’où l’on déduit, en appliquant les règles de Morgan,
B =
k∈N
nk
A n =
k∈N
C k .
2. On a clairement B ⊂ C k et donc P(B) P(C k ) pour tout k ∈ N. La série de terme général
A n converge, donc en appliquant l’inégalité de Boole (deuxième question de l’exercice
11.), on obtient P(C k )
+∞
p=k
P(A p ) et donc
0 P(B)
+∞
p=k
P(A p ).
La série de terme général P(A n ) converge donc le reste de la série converge vers 0. On a
donc lim
k→+∞
+∞
p=k
P(A p ) = 0 (il s’agit du reste d’indice k − 1 de la série). En faisant tendre k
vers +∞ dans la double inégalité précédente, on obtient P(B) = 0.
3. a. Soit k ∈ N et N ∈ N, N k. On a C k =
+∞
p=k
A p et donc C k ⊂
N
p=k
A p . On en déduit
P(C k ) P
⎛
⎝
N
p=k
A p
⎞
⎠ ,
puis comme l’indépendance des événements A n implique celle des événements A n ,
P(C k )
N
p=k
P(A p ).
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