© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
Comme x 1 − x 2 =
√
5
2
et 1 + x 1 x 2 − (x 1 + x 2 ) = 1 −
1
4
−
1
2
=
1
4
, on obtient
∞
n=1
u n =
1
2
√
5
·
√
5
2
· 4 = 1.
Considérons l’événement U =
n∈N ∗
U n , i.e. « on obtient deux piles consécutifs ». Les
événements U n sont incompatibles donc
+∞
n=1
u n =
+∞
n=1
P(U n ) = P(U) = 1.
Il est quasiment certain qu’on obtient deux piles consécutifs.
10.
1. On a, pour tout k ∈ [[1, n]], P(A k ) =
1
2
· Pour 0 k
n
2
, on note B k l’événement « on a obtenu 2k piles au cours des n lancers ». On obtient A n+1 =
0kE(
n
2 )
B k .
L’événement B k est réalisé si parmi les n tirages, 2k donnent un pile et les autres un face.
Il faut choisir les tirages qui donnent un pile parmi les n tirages. Les résultats des différents
tirages étant indépendantes et la probabilité qu’un tirage donne pile ou face étant
1
2
, on
obtient P(B k ) =
n
2k
1
2
n
et donc, par incompatibilité des événements B k ,
P(A n+1 ) =
E(
n
2 )
k=0
P(B k ) =
1
2 n
E(
n
2 )
k=0
n
2k
.
De
n
k=0
n
k
= (1 + 1)
n = 2
n et
n
k=0
n
k
(−1)
k = (1 − 1)
n = 0, on déduit en additionnant
2
n =
n
k=0
n
k
(1 + (−1)
k ) = 2
E(
n
2 )
k=0
n
2k
puis P(A n+1 ) =
1
2 n
2
n
2
=
1
2
·
2. a. L’événement A 1 ∩ . . .∩ A n ∩ A n+1 est réalisé si les n lancers donnent pile et si le nombre
de piles est pair. On en déduit que P(A 1 ∩ . . . ∩ A n ∩ A n+1 ) = 0 si n est impair. Si n est
pair,
P(A 1 ∩ . . . ∩ A n ∩ A n+1 ) = P(A 1 ∩ . . . ∩ A n ) =
1
2 n ·
b. Par ailleurs, on
n+1
k=1
P(A k ) =
1
2 n+1 , ce qui n’est jamais égal à P(A 1 ∩ . . . ∩ A n ∩ A n+1 ) :
les événements A 1 , . . . , A n , A n+1 ne sont pas indépendants.
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