Chapitre 7 – Espaces probabilisés
2. a. Pour n 2, on a
y n+1 =
1
2
x n +
1
2
y n =
1
4
y n−1 +
1
2
y n .
b. Il s’agit d’une relation récurrence sur deux termes. On a d’après la première question
y 1 = y 2 =
1
2
· Posons y 0 = 1. On a alors y n+1 =
1
4
y n−1 +
1
2
y n pour tout n 1.
L’équation caractéristique de cette récurrence est x
2
−
1
2
x −
1
4
= 0, dont les solutions
sont x 1 =
1 +
√
5
4
et x 2 =
1 −
√
5
4
. Il existe (a, b) ∈ R
2 tel que, pour tout n ∈ N,
y n = ax
n
1 +bx
n
2 . On obtient y 0 = a+b = 1 et y 1 =
1
2
= ax 1 +bx 2 =
a + b
4
+
(a − b)
√
5
4
,
ce qui donne le système
a + b = 1
(a − b)
√
5 = 1,
ce qui donne
a =
√
5 + 1
2
√
5
et b =
√
5 − 1
2
√
5
·
On a donc, pour tout n 1,
y n =
√
5 + 1
2
√
5
1 +
√
5
4
n
+
√
5 − 1
2
√
5
1 −
√
5
4
n
=
2
√
5
1 +
√
5
4
n+1
−
1 −
√
5
4
n+1
.
On en déduit, pour tout n 2,
x n =
1
2
y n−1 =
1
√
5
1 +
√
5
4
n
−
1 −
√
5
4
n
.
Cette formule reste valable pour n = 1, car x 1 =
1
2
· On en déduit que, pour tout
n 1,
u n =
1
2
x n =
1
2
√
5
1 +
√
5
4
n
−
1 −
√
5
4
n
.
c. La suite (u n ) est somme de deux suites géométriques de raison x 1 et x 2 appartenant à
]−1, 1[. Donc la série de terme général u n converge car c’est la somme de deux séries
géométriques convergentes. On remarque que la formule précédente reste valable pour
n = 0 car u 0 = 0. On en déduit que
+∞
n=1
u n =
1
2
√
5
+∞
n=0
(x
n
1 −x
n
2 ) =
1
2
√
5
1
1 − x 1
−
1
1 − x 2
=
1
2
√
5
x 1 − x 2
1 + x 1 x 2 − x 1 − x 2
·
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