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SOLUTIONS
Solutions
On a clairement P(B) =
a
a + b
, P( ¯
B) =
b
a + b
et d’autre part, P(B i /B) = p i−1 (a + c, b),
car après le tirage d’une boule blanche, l’urne contient a + c boules blanches et b boules
noires et il reste i − 1 tirages à effectuer pour atteindre le i-ième. On obtient de même,
P(B i / ¯
B) = p i−1 (a, b + c). D’où l’égalité
p i (a, b) =
a
a + b
p i−1 (a + c, b) +
b
a + b
p i−1 (a, b + c).
2. Montrons que p i (a, b) est indépendant de i, c’est-à-dire que, pour tout i 1, on a, pour
tout (a, b) ∈ (N
∗ )
2 , p i (a, b) = p 1 (a, b) =
a
a + b
·
C’est vrai pour i = 1 et si on suppose que c’est vrai au rang i − 1 (i 2), on obtient pour
tout (a, b) ∈ (N
∗ )
2 ,
p i (a, b) =
a
a + b
p i−1 (a + c, b) +
b
a + b
p i−1 (a, b + c)
=
a
a + b
a + c
a + b + c
+
b
a + b
a
a + b + c
=
a(a + c + b)
(a + b)(a + b + c)
=
a
a + b
·
3.
1. Pour n 1, soit A n l’événement « il ne subsiste aucune erreur au bout de
n relectures » et, pour 1 i 4, A
i
n l’événement « la i-ième erreur a été corrigée
pendant les n premières relectures ». On a A n = A
1
n ∩ A
2
n ∩ A
3
n ∩ A
4
n . Comme A i
n est
l’événement « la i-ième erreur n’a pas été corrigée pendant les n premières relectures »,
on a P
A i
n
=
2
3
n
et donc P(A
i
n ) = 1 −
2
3
n
. Les corrections des différentes erreurs
étant indépendantes les une des autres, on obtient P(A n ) =
1 −
2
3
n 4
. On veut
P(A n ) 0, 9 soit
2
3
n
1 − (0, 9)
1
4 . En prenant le logarithme, on obtient car ln
2
3
< 0,
n
ln
1 − (0, 9)
1
4
ln
2
3
. On trouve n 9, 0015 et donc n 10.
2. On note toujours A n l’événement « il ne subsiste aucune erreur au bout de n relectures »
et B i l’événement « il y a i erreurs » (0 i 4). On a, pour tout i, P(B i ) =
1
5
· Comme
(B i ) 0i4 est un système complet d’événements, on obtient en appliquant la formule des
probabilités totales
P(A n ) =
4
i=0
P(A n /B i )P(B i ) =
1
5
4
i=0
P(A n /B i ).
Le calcul de P(A n /B 4 ) a été effectué dans la première question. On a donc
P(A n /B 4 ) =
1 −
2
3
n 4
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