Chapitre 7 – Espaces probabilisés
L’intégrale
]0,+∞[×]0,+∞[
e
−(x
2 +y
2 ) x
2p−1 y
2q−1 dxdy est donc convergente et de plus
]0,+∞[×]0,+∞[
e
−(x
2 +y
2 ) x
2p−1 y
2q−1 dxdy =
1
4
G(p)G(q).
2. Par passage en coordonnées polaires on a :
]0,+∞[×]0,+∞[
e
−(x
2 +y
2 ) x
2p−1 y
2q−1 dxdy
=
]0,
p
2 [×]0,+∞[
e
−r
2
(r cos u)
2p−1 (r sin u)
2q−1 rdrdu
=
p
2
0
(cos u)
2p−1 (sin u)
2q−1 du
+∞
0
e
−r
2
r
2p+2q−1 dr
=
1
2
G(p + q)
p
2
0
(cos u)
2p−1 (sin u)
2q−1 du.
3. Avec le changement de variable u = cos
2 u, on obtient
p
2
0
(cos u)
2p−1 (sin u)
2q−1 du =
1
2
B(p, q),
d’où le résultat.
Chapitre 7
1.
On calcule la probabilité p 1 de gagner si le joueur ne change pas son changer et
la probabilité p 2 de gagner s’il change son choix. On note G l’événement « il gagne » et C
l’événement « il a choisi initialement la bonne porte ». En appliquant la formule des probabilités
totales avec le système complet d’événements (C, ¯
C), on obtient avec la première stratégie
p 1 = P(G) = P(G/C)P(C) + P(G/ ¯
C)P( ¯
C) = 1 ·
1
3
+ 0 ·
2
3
=
1
3
et avec la seconde stratégie
p 2 = P(G) = P(G/C)P(C) + P(G/ ¯
C)P( ¯
C) = 0 ·
1
3
+ 1 ·
2
3
=
2
3
·
Il vaut mieux que le joueur change son choix.
2.
1. On suppose que l’urne contient initialement a boules blanches et b boules noires
et que i 2. Notons B l’événement « on obtient une boule blanche au premier tirage »
et B i l’événement « on obtient une boule blanche au i-ième tirage ». En appliquant la
formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (B, ¯
B), on obtient
p i (a, b) = P(B i ) = P(B i /B)P(B) + P(B i / ¯
B)P( ¯
B).
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