Chapitre 6 – Extension de la notion d’intégrale
2. En utilisant les coordonnées polaires, l’inégalité x
2 + y
2
√ xy s’écrit r
√
sin u cos u, on
a donc
A(D) =
D
dxdy =
p
2
0
√
sin u cos u
0
rdr
du =
p
2
0
sin 2udu =
1
4
.
3. Soit D =
(x, y); x
2 + y
2
− ax 0
. On a V =
D
a 2 − (x 2 + y 2 )dxdy.
En utilisant les coordonnées polaires
V =
p
2
−
p
2
a cos u
0
r
a 2 − r 2 dr
du =
2
3
a
3
p
2
0
(1 − sin
3 u)du =
2a
3
3
p
2
−
2
3
.
14.
La fonction f : (x, y) ∈ [0, +∞[×[0, +∞[ → e
−(x+y) (x + y)
2 est continue et positive.
Pour tous x 0, Y > 0,
Y
0
e
−(x+y) (x + y)
2 dy =
x+Y
x
e
−u u
2 du =
− e
−u (u
2 + 2u + 2
x+Y
x
.
On a donc pour tout x 0,
+∞
0
e
−(x+y) (x + y)
2 dy = e
−x (x
2 + 2x + 2).
L’intégrale
+∞
0
e
−x (x
2 + 2x + 2) dx converge, de plus
+∞
0
e
−x (x
2 + 2x + 2) dx = G(3) + 2G(2) + 2G(1) = 6.
15.
1. La fonction f : (x, y) ∈ ]0, +∞[ × ]0, +∞[ →
1
(1 + x)(1 + xy 2 )
est continue et
positive.
Pour tout x > 0,
+∞
0
1
1 + xy 2 dy =
1
√
x
p
2
.
Considérons alors
+∞
0
dx
√
x(1 + x)
.
On pose x = u
2 et l’on a
+∞
0
dx
√
x(1 + x)
= 2
+∞
0
du
1 + u 2 = p.
Ainsi
]0,+∞[×]0,+∞[
1
(1 + x)(1 + xy 2 )
dxdy =
p
2
2
.
On peut aussi remarquer que, pour tout y = 1,
1
(1 + x)(1 + xy 2 )
=
1
1 − y 2
1
1 + x
−
y
2
1 + xy 2
.
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