© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
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2.
D
x 2 + y 2 dxdy =
p
2
p
4
2 cos u
0
r
2 dr
du
=
8
3
p
2
p
4
cos
3 u du
=
8
3
p
2
p
4
(1 − sin
2 u) cos u du
=
8
3
(
2
3
−
5
12
√
2)
=
1
9
(16 − 10
√
2).
3. On remarque que D =
(x, y) ∈ R
2 ; 0 x 3, 0 y 3, y x
, donc
D
x 2 + y 2 dxdy =
p
4
0
3
cos u
0
r
2 dr
du
= 9
p
4
0
1
cos 3 u
du
= 9
1
√
2
0
du
(1 − u 2 ) 2 (sin u = u)
= 9
1
√
2
0
1
(1 + u) 2 +
1
1 + u
+
1
(1 − u) 2 +
1
1 − u
du
=
9
2
√
2 + ln(1 +
√
2)
≈ 10, 33.
4. On a
D
cos(x
2 + y
2 ) dxdy =
p
2
0
du
2
0
r cos(r
2 ) dr =
p
4
sin 4 ≈ −0, 59.
13.
1. Soient C 1 le cercle d’équation x
2 + y
2 = 1, et C 2 le cercle d’équation
x
2 + y
2
− 2y = 0, ces deux cercles se coupent aux points (
√
3
2
,
1
2
) et (−
√
3
2
,
1
2
).
D est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, on a donc
A(D) =
D
dxdy = 2
p
2
p
6
2 sin u
1
r dr
du
c’est-à-dire, tout calcul fait
A(D) = [u − sin 2u]
p
2
p
6
=
p
3
+
√
3
2
·
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