© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On en déduit
(n+1)p
np
dt
1 + e t sin
2 t
p
0
du
1 + e np sin
2 u
.
3. On sait que pour tout u ∈ R, sin u = sin(p − u), on a donc
p
0
du
1 + e np sin
2 u
= 2
p
2
0
du
1 + e np sin
2 u
=
p
√
1 + e np
.
Au voisinage de l’infini,
p
√
1 + e np
∼ pe
−n
p
2 .
La série
n∈N
e
−n
p
2 est une série géométrique convergente, donc la série
n∈N
p
0
du
1 + e np sin
2 u
converge.
4. Il résulte de ce qui précède, que la série
n∈N
(n+1)p
np
dt
1 + e t sin
2 t
converge.
Soit F : T ∈ [0, +∞[ →
T
0
dt
1 + e t sin
2 t
,
on a lim
n→+∞
F(np) =
k∈N
(k+1)p
kp
dt
1 + e t sin
2 t
,soit L cette limite.
Pour tout T ∈ [0, +∞[, il existe un entier n ∈ N tel que
F(np) F(T) F((n + 1)p) L,
on en déduit que l’intégrale
+∞
0
dt
1 + e t sin
2 t
converge.
11.
1.
D
e
x
y dxdy =
4
0
y/2
−y
e
x
y dx
dy
=
4
0
y(e
1/2
− e
−1 ) dy = 8(e
1/2
− e
−1 ).
2. La droite d’équation y = x rencontre la parabole d’équation y = −x
2 aux points (0, 0) et
(−1, −1).
On a donc
D
√
y − x dxdy =
0
−1
−x
2
x
√
y − x dy
dx
=
2
3
0
−1
(−x − x
2 )
3/2 dx
493