Chapitre 6 – Extension de la notion d’intégrale
Ainsi
1
0
− ln t
1 − t
dt =
+∞
n=1
1
n 2 .
9.
1. Au voisinage de l’infini e
−a
√
n = o
1
n 2
, la série
n∈N e
−a
√
n est donc convergente.
2. Pour tout k ∈ N et pour tout t ∈ [k, k + 1], on a
e
−a
√
k+1
e
−a
√
t
e
−a
√
k ;
e
−a
√
k+1
k+1
k
e
−a
√
t dt e
−a
√
k ;
n−1
k=0
e
−a
√
k+1
n
0
e
−a
√
t dt
n−1
k=0
e
−a
√
k .
On a donc S n (a) − 1 I n S n−1 (a) S n (a).
En utilisant le changement de variable u = a
√
t,on obtient
I n (a) =
2
a 2
a
√
n
0
ue
−u du.
Par passage à la limite, on en déduit S(a) − 1
2
a 2
+∞
0
ue
−u du S(a).
3. On sait que
+∞
0
ue
−u du = G(2) = 1, donc
a
2 (S(a) − 1) 2 a
2 S(a)
et
lim
a→0
a
2 S(a) = 2, ainsi S(a) ∼
0
2
a 2 .
10.
1. Considérons le changement de variable u = tan t, on sait que sin t = tan t cos t,
donc sin
2 t =
u
2
1 + u 2 ,
ainsi
p
2
0
dt
1 + a 2 sin
2 t
=
+∞
0
du
1 + (1 + a 2 )u 2 ·
Posons alors v =
√
1 + a 2 u,
alors
+∞
0
du
1 + (1 + a 2 )u 2 =
1
√
1 + a 2
+∞
0
dv
1 + v 2 =
p
2
1
√
1 + a 2
.
2. Pour tout n ∈ N,
(n+1)p
np
dt
1 + e t sin
2 t
=
p
0
du
1 + e u+np sin
2 u
(changement de variable
t = u + np.)
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