© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
⇐⇒
V =
⎛
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎠ =
x
4
⎛
⎜
⎝
4
5
0
1
⎞
⎟
⎠ +
z
4
⎛
⎜
⎝
0
−3
4
1
⎞
⎟
⎠
⇐⇒
V ∈ Vect
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
4
5
0
1
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
0
−3
4
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Et finalement nous avons
V ∈ F ∩ G ⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0 = x + z
0 = 2x − y − t
0 = −5x + 4y + 3z
0 = −x − z + 4t
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0 = x + z
0 = 8x − 4y
0 = 0
0 = 4t
L 2 ← 4L 2 + L 4 + L 1
L 3 ← L 3 + 4L 2 + L 4 − 2L 1
L 4 ← L 4 + L 1
⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = x
y = 2x
z = −x
t = 0
⇐⇒ V ∈ Vect
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
2
−1
0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Nous pouvons conclure que dim(F ∩ G) = 1 et que
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
2
−1
0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ en est une base.
2. Posons u I =
⎛
⎜
⎝
1
2
−1
0
⎞
⎟
⎠, u F =
⎛
⎜
⎝
0
1
0
−1
⎞
⎟
⎠ et u G =
⎛
⎜
⎝
0
−3
4
1
⎞
⎟
⎠ .
Le premier calcul nous permet de conclure que F est de dimension 2 ; la famille libre
(u I , u F ) en est une base.
De même le deuxième calcul nous permet de conclure que G est de dimension 2 ; la
famille libre (u I , u G ) en est une base.
Il est immédiat de vérifier que les vecteurs (u I , u F , u G ) de F + G forment une famille libre ;
de plus ils engendrent les vecteurs de F et ceux de G, elle engendre donc F + G. F + G
est donc de dimension 3.
3. Nous avons effectivement dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G).
4. a. Le sous-espace F ∩ G est de dimension r finie parce qu’il est inclus par exemple dans
F qui est lui-même de dimension finie. Si r = 0, il existe donc une base de F ∩ G que
nous notons B I = (l 1 , l 2 , . . . , l r ). avec r ∈ N ∗ .
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