Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Nous avons donc
Vect
(−1, 2, 1, −1), (3, 1, 0, −1)
=
(x, y, z, t) ∈ K
4
|x + 4z + 3t = 0, y − z + t = 0
.
Les deux équations trouvées ne sont pas uniques, répondre à la question posée revient à
donner un système de deux équations linéaires indépendantes équivalent au système de
deux équations que nous proposons.
3.
1. Soit V =
⎛
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎠ ,un élément quelconque de l’espace vectoriel M 4,1 (R).
Nous avons les équivalences suivantes.
V ∈ F ⇐⇒ ∃(a, b, c) ∈ R
3
V = av 1 + bv 2 + cv 3
⇐⇒ ∃(a, b, c) ∈ R
3
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−a + b + c = x
a + 3b + c = y
a − b − c = z
−3a − b + c = t
⇐⇒ ∃(a, b, c) ∈ R
3
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−a + b + c = x
4b + 2c = x + y
0 = x + z
4b + 2c = 3x − t
L 2 ← L 1 + L 2
L 3 ← L 1 + L 3
L 4 ← 3L 1 − L 4
⇐⇒
0 = x + z
0 = 2x − y − t L 4 ← L 4 − L 2
⇐⇒
V =
⎛
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎠ = x
⎛
⎜
⎝
1
0
−1
2
⎞
⎟
⎠ + y
⎛
⎜
⎝
0
1
0
−1
⎞
⎟
⎠
⇐⇒
V ∈ Vect
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
0
−1
2
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎝
0
1
0
−1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
V ∈ G ⇐⇒ ∃(a, b) ∈ R
2
V = av 4 + bv 5
⇐⇒ ∃(a, b) ∈ R
2
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2a + 3b = x
a + 3b = y
2a + b = z
a + b
= t
⇐⇒ ∃(a, b) ∈ R
2
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2a + 3b = x
a = x − y
0 = −5x + 4y + 3z
0 = −x − z + 4t
L 2 ← L 1 − L 2
L 3 ← 3L 3 + 4L 2 − 5L 1
L 4 ← 4L 4 − L 1 − L 3
⇐⇒
0 = −5x + 4y + 3z
0 = −x − z + 4t
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