Solution des exercices
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qui se « développe » par bilinéarité et donne, en utilisant à nouveau l’hypothèse,
pour les vecteurs h et k, ainsi que la symétrie de f,
f(d f (x) · h, d f (x) · k) = f(h, k) .
ii). Par différentiation de la fonction identiquement nulle x → f(d f (x) · h, d f (x) ·
k) − f(h, k) dans la direction y on obtient
f(d
2 f (x) · (h, y), d f (x) · k) + f(d f (x) · h, d
2 f (x) · (k, y)) = 0 ,
ou encore, par symétrie de f,
f(d
2 f (x) · (h, y), d f (x) · k) = − f(d
2 f (x) · (k, y), d f (x) · h) .
Par suite, en échangeant les rôles de y et de h,
f(d
2 f (x) · (y, h), d f (x) · k) = − f(d
2 f (x) · (k, h), d f (x) · y) ,
tandis qu’en échangeant les rôles de y et de k,
f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) = − f(d
2 f (x) · (y, k), d f (x) · h) .
Enfin, par symétrie de d
2 f (x) (théorème de Schwarz) on déduit de ces trois
égalités
f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) = −f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) ,
d’où f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) = 0. Or, f n’ayant pas de vecteur isotrope
on a f(d f (x) · y, d f (x) · y) = f(y, y) = 0 quel que soit y
= 0, et donc
d f (x) · y
= 0. Cela montre que l’application linéaire d f (x)· est injective sur R
n ,
et donc bijective. Donc le résultat précédent implique f(d
2 f (x) · (h, k), z) = 0
quel que soit z ∈ R
n , d’où d
2 f (x) · (h, k) = 0 en utilisant à nouveau le fait que
f soit sans vecteur isotrope.
iii). D’après ce qui précède, la différentielle de d f est identiquement nulle, et pour
tout x ∈ R
n , d f (x) est un isomorphisme de R
n . Toute fonction de différentielle
nulle sur un ouvert connexe étant constante, d f (x) =: est donc un isormorphisme indépendant de x, et pour la même raison, la fonction f − est constante.
Si l’on note b ∈ R
n sa valeur, on a par définition
f (x) = (x) + b , ∀x ∈ R
n .
iv). L’application f est injective sur R
n car l’est : si f (x) = f (y) alors (x) = (y)
et donc x = y. Elle est aussi surjective car l’est : pour tout z ∈ R
n , il existe x ∈
R
n tel que (x) = z − b, et donc f (x) = z. De plus, f est de classe C
∞ comme
somme d’une application constante et d’une application linéaire continue, et pour
tout x ∈ R
n , d f (x) = est un isomorphisme de R
n . Donc d’après le théorème
d’inversion globale, f est un difféomorphisme de classe C
∞ de R
n sur R
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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qui se « développe » par bilinéarité et donne, en utilisant à nouveau l’hypothèse,
pour les vecteurs h et k, ainsi que la symétrie de f,
f(d f (x) · h, d f (x) · k) = f(h, k) .
ii). Par différentiation de la fonction identiquement nulle x → f(d f (x) · h, d f (x) ·
k) − f(h, k) dans la direction y on obtient
f(d
2 f (x) · (h, y), d f (x) · k) + f(d f (x) · h, d
2 f (x) · (k, y)) = 0 ,
ou encore, par symétrie de f,
f(d
2 f (x) · (h, y), d f (x) · k) = − f(d
2 f (x) · (k, y), d f (x) · h) .
Par suite, en échangeant les rôles de y et de h,
f(d
2 f (x) · (y, h), d f (x) · k) = − f(d
2 f (x) · (k, h), d f (x) · y) ,
tandis qu’en échangeant les rôles de y et de k,
f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) = − f(d
2 f (x) · (y, k), d f (x) · h) .
Enfin, par symétrie de d
2 f (x) (théorème de Schwarz) on déduit de ces trois
égalités
f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) = −f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) ,
d’où f(d
2 f (x) · (h, k), d f (x) · y) = 0. Or, f n’ayant pas de vecteur isotrope
on a f(d f (x) · y, d f (x) · y) = f(y, y) = 0 quel que soit y
= 0, et donc
d f (x) · y
= 0. Cela montre que l’application linéaire d f (x)· est injective sur R
n ,
et donc bijective. Donc le résultat précédent implique f(d
2 f (x) · (h, k), z) = 0
quel que soit z ∈ R
n , d’où d
2 f (x) · (h, k) = 0 en utilisant à nouveau le fait que
f soit sans vecteur isotrope.
iii). D’après ce qui précède, la différentielle de d f est identiquement nulle, et pour
tout x ∈ R
n , d f (x) est un isomorphisme de R
n . Toute fonction de différentielle
nulle sur un ouvert connexe étant constante, d f (x) =: est donc un isormorphisme indépendant de x, et pour la même raison, la fonction f − est constante.
Si l’on note b ∈ R
n sa valeur, on a par définition
f (x) = (x) + b , ∀x ∈ R
n .
iv). L’application f est injective sur R
n car l’est : si f (x) = f (y) alors (x) = (y)
et donc x = y. Elle est aussi surjective car l’est : pour tout z ∈ R
n , il existe x ∈
R
n tel que (x) = z − b, et donc f (x) = z. De plus, f est de classe C
∞ comme
somme d’une application constante et d’une application linéaire continue, et pour
tout x ∈ R
n , d f (x) = est un isomorphisme de R
n . Donc d’après le théorème
d’inversion globale, f est un difféomorphisme de classe C
∞ de R
n sur R
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit