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2 • Différentielles d’ordre supérieur
Soit donc ´ > 0, et h > 0 tel que |z − a| ≤ h implique |w(z)| ≤ ´. Alors,
pour tout (x, y) ∈ I × I tel que |x − a| ≤ h et |y − a| ≤ h,
g(x, y) − g(a, a) −
x − a + y − a
2
f
(a)
≤
´
2
(|x − a| + |y − a|) .
Cela montre que g est différentiable en (a, a), de différentielle donnée (comme
prévu) par dg(a, a) · (h, k) =
h+k
2 f
(a) .
Exercice 2.4
i). Les applications x → (dw(x), v(x)) ∈ L(E) × E et x → (dv(x), w(x)) ∈
L(E) × E sont de classe C
1 sur V car dw et dv le sont, et l’application bilinéaire
continue (, y) ∈ L(E)× E → (y) également. Donc par composition et addition,
l’application
[v, w] : x → dw(x) · v(x) − dv(x) · w(x)
est de classe C
1 sur V.
ii). La trilinéarité de f provient de la bilinéarité de d
2 u(x), de la linéarité de du(x),
dv(x), dw(x), ainsi que de la linéarité des opérateurs d, d
2 . La symétrie de f en
(v, w) provient du théorème de Schwarz pour le premier terme, et est évidente
pour la somme des deux autres.
iii). La différentielle de [u, v] est donnée par
d[u, v](x) · h = d
2
v(x) · (u(x), h) + dv(x) · (du(x) · h)
− d
2 u(x) · (v(x), h) + du(x) · (dv(x) · h) .
On en déduit en regroupant les termes trois par trois dans le développement de
[[u, v], w](x) = dw(x) · [u, v](x) − d[u, v](x) · w(x)
que [[u, v], w] = f(u, w, v) − f(v, w, u) . En faisant la somme des expressions
obtenues par permutation circulaire sur (u, v, w) et en utilisant la symétrie de f
par rapport à ses deux dernières variables, on obtient
[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] ≡ 0 .
Exercice 2.5
i). En appliquant l’hypothèse au vecteur h + k on a l’égalité
f(d f (x) · (h + k), d f (x) · (h + k)) = f(h + k, h + k) ,
2 • Différentielles d’ordre supérieur
Soit donc ´ > 0, et h > 0 tel que |z − a| ≤ h implique |w(z)| ≤ ´. Alors,
pour tout (x, y) ∈ I × I tel que |x − a| ≤ h et |y − a| ≤ h,
g(x, y) − g(a, a) −
x − a + y − a
2
f
(a)
≤
´
2
(|x − a| + |y − a|) .
Cela montre que g est différentiable en (a, a), de différentielle donnée (comme
prévu) par dg(a, a) · (h, k) =
h+k
2 f
(a) .
Exercice 2.4
i). Les applications x → (dw(x), v(x)) ∈ L(E) × E et x → (dv(x), w(x)) ∈
L(E) × E sont de classe C
1 sur V car dw et dv le sont, et l’application bilinéaire
continue (, y) ∈ L(E)× E → (y) également. Donc par composition et addition,
l’application
[v, w] : x → dw(x) · v(x) − dv(x) · w(x)
est de classe C
1 sur V.
ii). La trilinéarité de f provient de la bilinéarité de d
2 u(x), de la linéarité de du(x),
dv(x), dw(x), ainsi que de la linéarité des opérateurs d, d
2 . La symétrie de f en
(v, w) provient du théorème de Schwarz pour le premier terme, et est évidente
pour la somme des deux autres.
iii). La différentielle de [u, v] est donnée par
d[u, v](x) · h = d
2
v(x) · (u(x), h) + dv(x) · (du(x) · h)
− d
2 u(x) · (v(x), h) + du(x) · (dv(x) · h) .
On en déduit en regroupant les termes trois par trois dans le développement de
[[u, v], w](x) = dw(x) · [u, v](x) − d[u, v](x) · w(x)
que [[u, v], w] = f(u, w, v) − f(v, w, u) . En faisant la somme des expressions
obtenues par permutation circulaire sur (u, v, w) et en utilisant la symétrie de f
par rapport à ses deux dernières variables, on obtient
[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] ≡ 0 .
Exercice 2.5
i). En appliquant l’hypothèse au vecteur h + k on a l’égalité
f(d f (x) · (h + k), d f (x) · (h + k)) = f(h + k, h + k) ,