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Appendice
Démonstration. Si l’on note g :=
f (b)− f (a)
b−a
, on peut considérer la fonction
g : x → f (x) − g (x − a) .
Elle est, comme f , continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Et par construction elle vérifie g(b) = g(a) = f (a). Donc sa dérivée g
: x → f
(x) − g
s’annule en un point c de ]a, b[.
➤ Bootstrap (ou « induction continue »)
Proposition 8.25 Soit J un intervalle non vide de R. On considère deux familles de
propositions paramétrées par t ∈ J : une famille d’« hypothèses » H (t) et une famille
de « conclusions » C(t), et l’on suppose que
i). il existe au moins une proposition vraie H (t 0 ),
ii). l’ensemble des t ∈ J tels que C(t) est vraie est fermé,
iii). pour tout t ∈ J , si C(t) est vraie alors il existe un voisinage V de t dans J tel
que pour tout s ∈ V, H(s) est vraie.
iv). pour tout t ∈ J , si H(t) est vraie alors C(t) est vraie.
Alors C(t) est vraie pour tout t ∈ J .
Démonstration. La démonstration repose sur la connexité de J . Soit en
effet
A := {t ∈ J ; C(t) est vraie } .
D’après i) et iv), A contient t 0 . D’après ii), A est fermé. D’après iii) et iv), A
est ouvert. Donc A = J .
➤ Transformation de Laplace
Proposition 8.26 Soit f : R
+
→ C une fonction localement intégrable et de type
exponentiel a ∈ R, c’est-à-dire qu’il existe C > 0 tel que | f (t)| ≤ Ce
a t pour tout
t ∈ R
+ . Alors la fonction t ∈ R
+
→ f (t) e
− g t est intégrable pour tout g > a, et la
fonction
L[ f ] : s →
+∞
0
f (t) e
− s t dt
est holomorphe dans le demi-plan complexe { s ∈ C ; Re s > a }. Si F := L[ f ] est
intégrable sur la droite verticale {z ; Re z = g} avec g > a, alors
f (t) =
1
2ip
+∞
−∞
F(g + iz) e
(g+iz)t dz .
C’est la formule d’inversion de Laplace (qui se déduit de la formule d’inversion de
Fourier).