Appendice
➤ Formule des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles
Théorème 8.23 (Rolle) Soit une fonction f : [a, b] → R, avec a < b. On suppose
que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et que f (a) = f (b). Alors il existe
c ∈]a, b[ tel que f
(c) = 0.
Démonstration. Si f est constante, on a f
(c) = 0 pour tout c et il n’y a
donc rien à démontrer. Supposons maintenant f non constante. La fonction
f atteint son minimum et son maximum sur le compact [a, b]. Puisqu’elle
n’est pas constante, l’un des deux au moins est différent de la valeur y :=
f (a) = f (b). Supposons que ce soit le maximum (si ce n’était pas le cas, on
changerait f en − f ). Cela veut dire qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f (c) > y
et pour tout x ∈ [a, b], f (x) ≤ f (c). Voyons maintenant pourquoi cela
implique f
(c) = 0. Soit h > 0 tel que [c − h, c + h] ⊂ [a, b]. On a, pour
c − h ≤ x < c,
f (x) − f (c)
x − c
≥ 0 ,
alors que pour c < x ≤ c + h,
f (x) − f (c)
x − c
≤ 0.
Par suite, la limite à gauche en c du taux d’accroissement de f est positive
ou nulle et la limite à droite est négative ou nulle. Comme ces limites à
gauche et à droite sont toutes deux égales à f
(c), on en déduit f
(c) = 0.
Théorème 8.24 (Formule des accroissements finis) Soit une fonction f : [a, b] →
R, avec a < b. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors il
existe c ∈]a, b[ tel que
f
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
➤ Formule des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles
Théorème 8.23 (Rolle) Soit une fonction f : [a, b] → R, avec a < b. On suppose
que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et que f (a) = f (b). Alors il existe
c ∈]a, b[ tel que f
(c) = 0.
Démonstration. Si f est constante, on a f
(c) = 0 pour tout c et il n’y a
donc rien à démontrer. Supposons maintenant f non constante. La fonction
f atteint son minimum et son maximum sur le compact [a, b]. Puisqu’elle
n’est pas constante, l’un des deux au moins est différent de la valeur y :=
f (a) = f (b). Supposons que ce soit le maximum (si ce n’était pas le cas, on
changerait f en − f ). Cela veut dire qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f (c) > y
et pour tout x ∈ [a, b], f (x) ≤ f (c). Voyons maintenant pourquoi cela
implique f
(c) = 0. Soit h > 0 tel que [c − h, c + h] ⊂ [a, b]. On a, pour
c − h ≤ x < c,
f (x) − f (c)
x − c
≥ 0 ,
alors que pour c < x ≤ c + h,
f (x) − f (c)
x − c
≤ 0.
Par suite, la limite à gauche en c du taux d’accroissement de f est positive
ou nulle et la limite à droite est négative ou nulle. Comme ces limites à
gauche et à droite sont toutes deux égales à f
(c), on en déduit f
(c) = 0.
Théorème 8.24 (Formule des accroissements finis) Soit une fonction f : [a, b] →
R, avec a < b. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors il
existe c ∈]a, b[ tel que
f
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
.
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