8.5 Introduction aux bifurcations
287
8.5.2 Bifurcation de Hopf
On revient maintenant à un champ f tel que f (u 0 , l 0 ) = 0 et l’on suppose que
D f (u 0 , l 0 ) admet exactement deux valeurs propres imaginaires pures, ±iv avec
v = 0. Ainsi, 0 n’est pas valeur propre, et donc D f (u 0 , l 0 ) est inversible. Le théorème
des fonctions implicites montre donc que l’ensemble des zéros de f voisins de (u 0 , l 0 )
est paramétré par l : il existe une fonction u ∗ , définie et de classe C
2 au voisinage de
l 0 , telle que u ∗ (l 0 ) = u 0 et
f (v, l) = 0 ⇐⇒ v = u ∗ (l) .
À nouveau le système augmenté (8.8) admet une variété centrale locale en (u 0 , l 0 ).
Elle est ici de dimension 3, et contient nécessairement la courbe de points fixes
{(u ∗ (l), l) }. Le système réduit sur cette variété se ramène à un système plan dépendant du paramètre l. C’est pourquoi on suppose dans ce qui suit n = 2.
Théorème 8.22 (bifurcation de Hopf) On suppose que D f (u ∗ (l), l) admet deux
valeurs propres complexes conjuguées valant ±iv en l 0 et dont la partie réelle
change de signe en l 0 . Alors trois cas sont possibles au voisinage de l 0 :
i). le point fixe u ∗ (l) est un centre : le portrait de phase du champ de vecteurs
(non-linéaire) f (·, l) est constitué de cycles concentriques ;
ii). on a une bifurcation surcritique : pour l < l 0 , le champ de vecteurs f (·, l)
n’admet aucun cycle autour de u ∗ (l), et pour l > l 0 , il admet exactement
un cycle autour (et assez proche) de u ∗ (l) ; le diamètre de ce cycle est en
O(
√
l − l 0 ).
iii). on a une bifurcation souscritique : pour l > l 0 , le champ de vecteurs f (·, l)
n’admet aucun cycle autour de u ∗ (l), et pour l < l 0 , il admet exactement
un cycle autour (et assez proche) de u ∗ (l) ; le diamètre de ce cycle est en
O(
√
l 0 − l).
La démonstration de ce théorème repose sur la théorie des formes normales (voir
[1, p. 257]). Nous nous contenterons d’observer ce qui se passe sur la forme réduite
de Poincaré–Andronov :
x
= −y + l − x(x
2 + y
2 ) ,
y
= x + l − y(x
2 + y
2 ) .
La valeur critique du paramètre est ici évidemment l = 0. En passant en coordonnées
polaires, ce système se ramène à
r
= lr − r
3 ,
u
= 1 ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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8.5.2 Bifurcation de Hopf
On revient maintenant à un champ f tel que f (u 0 , l 0 ) = 0 et l’on suppose que
D f (u 0 , l 0 ) admet exactement deux valeurs propres imaginaires pures, ±iv avec
v = 0. Ainsi, 0 n’est pas valeur propre, et donc D f (u 0 , l 0 ) est inversible. Le théorème
des fonctions implicites montre donc que l’ensemble des zéros de f voisins de (u 0 , l 0 )
est paramétré par l : il existe une fonction u ∗ , définie et de classe C
2 au voisinage de
l 0 , telle que u ∗ (l 0 ) = u 0 et
f (v, l) = 0 ⇐⇒ v = u ∗ (l) .
À nouveau le système augmenté (8.8) admet une variété centrale locale en (u 0 , l 0 ).
Elle est ici de dimension 3, et contient nécessairement la courbe de points fixes
{(u ∗ (l), l) }. Le système réduit sur cette variété se ramène à un système plan dépendant du paramètre l. C’est pourquoi on suppose dans ce qui suit n = 2.
Théorème 8.22 (bifurcation de Hopf) On suppose que D f (u ∗ (l), l) admet deux
valeurs propres complexes conjuguées valant ±iv en l 0 et dont la partie réelle
change de signe en l 0 . Alors trois cas sont possibles au voisinage de l 0 :
i). le point fixe u ∗ (l) est un centre : le portrait de phase du champ de vecteurs
(non-linéaire) f (·, l) est constitué de cycles concentriques ;
ii). on a une bifurcation surcritique : pour l < l 0 , le champ de vecteurs f (·, l)
n’admet aucun cycle autour de u ∗ (l), et pour l > l 0 , il admet exactement
un cycle autour (et assez proche) de u ∗ (l) ; le diamètre de ce cycle est en
O(
√
l − l 0 ).
iii). on a une bifurcation souscritique : pour l > l 0 , le champ de vecteurs f (·, l)
n’admet aucun cycle autour de u ∗ (l), et pour l < l 0 , il admet exactement
un cycle autour (et assez proche) de u ∗ (l) ; le diamètre de ce cycle est en
O(
√
l 0 − l).
La démonstration de ce théorème repose sur la théorie des formes normales (voir
[1, p. 257]). Nous nous contenterons d’observer ce qui se passe sur la forme réduite
de Poincaré–Andronov :
x
= −y + l − x(x
2 + y
2 ) ,
y
= x + l − y(x
2 + y
2 ) .
La valeur critique du paramètre est ici évidemment l = 0. En passant en coordonnées
polaires, ce système se ramène à
r
= lr − r
3 ,
u
= 1 ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit