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6 • Équations linéaires
si et seulement si 1 < a < 2 (leur somme 1 − a doit être strictement négative, et leur
produit 2−a strictement positif ; noter qu’elles sont réelles si a /
∈]−1−2
√
2, −1+2
√
2[
et que 1 < −1 + 2
√
2 < 2). Dans ce cas la première partie montre que les solutions
de u
= (A + B(t))u tendent vers 0 en +∞.
Exercice 6.3
i). Comme dans l’exercice précédent, la démonstration repose sur la formule de
Duhamel. Si M est un majorant de e
t A
pour t ∈ R
+ (on renvoie à la proposition
6.12 pour la caractérisation de l’existence d’un tel majorant), on a pour toute
solution de x
= (A + B(t)) x + f (t) et pour tout t ≥ 0,
x(t) ≤ M
x(0) +
t
0
(B(s) x(s) + f (s)) ds
.
Si l’on note u(t) = x(t), F(t) =
t
0
f (s) ds et b(t) :=
t
0
B(s) ds (ces
primitives étant bornées par hypothèse), on a pour tout t ≥ 0,
u(t) ≤ M ( u(0) + F(t)) + M
t
0
b
(s) u(s) ds .
D’après le lemme de Gronwall (sous la forme donnée dans la remarque p. 140),
ceci implique que pour tout t ≥ 0,
u(t) ≤ M u(0) e
Mb(t) + M
t
0
F
(s) e
M(b(t)−b(s)) ds .
En retournant aux notations de départ, ceci montre que pour tout t ≥ 0,
x(t) ≤ M e
M
+∞
0
B(s)ds
x(0) +
+∞
0
f (s)ds
.
ii). D’après la question précédente appliquée à A = 0 et f ≡ 0, les solutions
maximales de x
= B(t) x sont bornées. De plus, on sait que les solutions
maximales sont globales, c’est-à-dire définies sur R
+ , et si x est une telle solution,
quels que soient t et s ∈ R
+ avec s ≤ t,
x(t) − x(s) =
t
s
B(t) x(t) dt ,
d’où, si C est un majorant de x(t) pour t ∈ R
+ ,
x(t) − x(s) ≤ C
t
s
B(t) dt ,
ce qui tend vers 0 lorsque t et s tendent vers +∞ puisque
+∞
0
B(t) dt < +∞.
Donc x satisfait le critère de Cauchy en +∞ : ceci implique qu’elle a une limite
finie.