Chapitre 6
Équations linéaires
Dans ce chapitre, on s’intéresse exclusivement aux équations différentielles du type
du
dt
= A(t) u + b(t) ,
(6.1)
avec b ∈ C(I ; X ) et A ∈ C(I ; L(X )), où X est un espace de Banach et, comme
au chapitre précédent, on note simplement A(t) u = A(t) · u l’image de u par A(t).
Lorsque X est de dimension finie n on confondra éventuellement A(t) avec sa matrice
dans la base (
∂
∂u 1
, . . . ,
∂
∂u n
) et les valeurs u(t) avec les vecteurs colonnes formés des
composantes de u(t) dans cette base. On dit que (6.1) est « linéaire » (car A(t) est
linéaire) « forcée » ou avec « terme source », le terme b(t) étant généralement dû
à une source extérieure, éventuellement variable. C’est le cas par exemple pour un
oscillateur harmonique soumis à une force périodique f = f 0 cos(vt) : d’après la loi
de Newton ceci conduit à une équation de la forme
m
d
2 y
dt 2 + k y = f 0 cos(vt)
(qui est une version avec terme source de (5.4)). On qualifie parfois (6.1) simplement
d’équation linéaire (bien que le terme correct soit plutôt « affine »).
6.1 EXISTENCE GLOBALE
D’après le théorème 5.10, les solutions de (6.1) sont globales.
Théorème 6.1 Pour b ∈ C(I ; X ) et A ∈ C(I ; L(X )), quel que soit (t 0 , u 0 ) ∈ I × X ,
il existe une unique fonction u ∈ C
1 (I ; X ) solution de (6.1) telle que u(t 0 ) = u 0 .
Équations linéaires
Dans ce chapitre, on s’intéresse exclusivement aux équations différentielles du type
du
dt
= A(t) u + b(t) ,
(6.1)
avec b ∈ C(I ; X ) et A ∈ C(I ; L(X )), où X est un espace de Banach et, comme
au chapitre précédent, on note simplement A(t) u = A(t) · u l’image de u par A(t).
Lorsque X est de dimension finie n on confondra éventuellement A(t) avec sa matrice
dans la base (
∂
∂u 1
, . . . ,
∂
∂u n
) et les valeurs u(t) avec les vecteurs colonnes formés des
composantes de u(t) dans cette base. On dit que (6.1) est « linéaire » (car A(t) est
linéaire) « forcée » ou avec « terme source », le terme b(t) étant généralement dû
à une source extérieure, éventuellement variable. C’est le cas par exemple pour un
oscillateur harmonique soumis à une force périodique f = f 0 cos(vt) : d’après la loi
de Newton ceci conduit à une équation de la forme
m
d
2 y
dt 2 + k y = f 0 cos(vt)
(qui est une version avec terme source de (5.4)). On qualifie parfois (6.1) simplement
d’équation linéaire (bien que le terme correct soit plutôt « affine »).
6.1 EXISTENCE GLOBALE
D’après le théorème 5.10, les solutions de (6.1) sont globales.
Théorème 6.1 Pour b ∈ C(I ; X ) et A ∈ C(I ; L(X )), quel que soit (t 0 , u 0 ) ∈ I × X ,
il existe une unique fonction u ∈ C
1 (I ; X ) solution de (6.1) telle que u(t 0 ) = u 0 .