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5 • Introduction et outils de base
ii). Soit w : t → exp
t
0
v(t) dt
la fonction définie par le second membre de l’inégalité. Alors w est dérivable (puisque v est continue) et w
(t) = v(t) w(t) ≤
w(t)
2 . Comme w ne s’annule pas, cela implique
w
(t)
w(t) 2 ≤ 1 , d’où −
1
w(t)
+ 1 ≤ t
par intégration et donc w(t) ≤ 1/(1 − t) pour t < 1. Cela implique finalement
v(t) ≤ 1/(1 − t).
iii). a) Si z(t) = exp
−
t
0
u(s)ds
, z
(t) = −u(t)z(t), z
(t) = −u
(t)z(t) +
u(t)
2 z(t) = −t
2 z(t). Donc z est solution de l’équation différentielle
d
2 z
dt 2 = −t
2 z .
Par ailleurs, z
(0) = 0 puisque u(0) = 0, z
(0) = 0 × z(0) = 0, et z
(t) =
−2tz(t) − t
2 z
(t), qui s’annule aussi en 0.
b) Cherchons la solution z du problème de Cauchy
z
= −t
2 z , z(0) = 1 , z
(0) = 0 ,
comme somme d’une série entière
a n t
n . On a nécessairement a 1 = z
(0) =
0, a 2 = z
(0)/2 = 0, a 3 = z
(0)/6 = 0. De plus, si R désigne le rayon de
convergence de la série entière, on a pour tout t ∈] − R, R[,
z
(t) =
+∞
n=0
(n + 2)(n + 1)a n+2 t
n = −t
2 z(t) = −
+∞
n=2
a n−2 t
n ,
d’où la relation
a n = −
a n−4
n (n − 1)
pour tout n ≥ 4. Par suite, a n = 0 si n ≡ 0[4], a 0 = 1, et quel que soit
k ∈ N
∗ ,
a 4k =
(−1)
k
4k(4k − 1) (4k − 4)(4k − 5) · · · 4 × 3
.
En particulier, une majoration grossière donne
|a 4k | ≤
1
k!4 k
d’où
+∞
k=0
|a 4k t
4k
| ≤ e
t
4 /4 .
Par suite R = +∞.