Solution des exercices
163
b) Pour v = 0, f(t, v) ne s’annule pas, et l’on a par définition
1
f
∂ t f = 1 + cos t − f
2 ,
d’où par intégration
t
0
f(s, v)
2 ds = t + sin t − ln(f(t, v)/v) .
En substituant cette valeur dans l’expression de c(t, v) on obtient alors
c(t, v) = e
−2(t+sin t) (f(t, v)/v)
3 .
Cela montre en particulier (en t = 2p) que p
(v) = e
−4p ( p(v)/v)
3 . En intégrant (par séparation de variables comme au §5.2.4), on en déduit l’existence
d’une constante C telle
p(v)
2 =
e
4p
v
2
1 + 2Cv 2 .
Sachant que p(v) est défini et strictement positif pour tout v > 0, la constante
C est nécessairement positive et
p(v) =
e
2p
v
√
1 + 2Cv 2
.
(Notons que p(v)/v tend bien vers e
2p = p
(0) lorsque v → 0.)
c) La fonction v → p(v)/v admet un prolongement continu à R
+ , valant e
2p > 1
en 0, et tendant vers 0 en +∞. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe v 1 ∈]0, +∞[ tel que p(v 1 ) = v 1 . Ainsi l’application
u 1 : t → f(t, v 1 ) et t → (t + 2p, v 1 ) sont solutions du même problème de
Cauchy (car la fonction cos est 2p-périodique), donc coïncident : cela montre
que u 1 est 2p-périodique.
Exercice 5.5
i). La seule solution s’annulant est la solution identiquement nulle. Comme on l’a
vu au paragraphe 5.4.2, si u 0 = 0, la solution du problème de Cauchy pour
la donnée initiale u(0) = u 0 est donnée par u(t) = u 0 /(1 − tu 0 ) tant que le
dénominateur ne s’annule pas. Si u 0 > 0, la solution maximale est ainsi définie
sur l’intervalle ] −∞, 1/u 0 [, tandis que si u 0 < 0, elle est définie sur [1/u 0 , +∞[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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b) Pour v = 0, f(t, v) ne s’annule pas, et l’on a par définition
1
f
∂ t f = 1 + cos t − f
2 ,
d’où par intégration
t
0
f(s, v)
2 ds = t + sin t − ln(f(t, v)/v) .
En substituant cette valeur dans l’expression de c(t, v) on obtient alors
c(t, v) = e
−2(t+sin t) (f(t, v)/v)
3 .
Cela montre en particulier (en t = 2p) que p
(v) = e
−4p ( p(v)/v)
3 . En intégrant (par séparation de variables comme au §5.2.4), on en déduit l’existence
d’une constante C telle
p(v)
2 =
e
4p
v
2
1 + 2Cv 2 .
Sachant que p(v) est défini et strictement positif pour tout v > 0, la constante
C est nécessairement positive et
p(v) =
e
2p
v
√
1 + 2Cv 2
.
(Notons que p(v)/v tend bien vers e
2p = p
(0) lorsque v → 0.)
c) La fonction v → p(v)/v admet un prolongement continu à R
+ , valant e
2p > 1
en 0, et tendant vers 0 en +∞. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe v 1 ∈]0, +∞[ tel que p(v 1 ) = v 1 . Ainsi l’application
u 1 : t → f(t, v 1 ) et t → (t + 2p, v 1 ) sont solutions du même problème de
Cauchy (car la fonction cos est 2p-périodique), donc coïncident : cela montre
que u 1 est 2p-périodique.
Exercice 5.5
i). La seule solution s’annulant est la solution identiquement nulle. Comme on l’a
vu au paragraphe 5.4.2, si u 0 = 0, la solution du problème de Cauchy pour
la donnée initiale u(0) = u 0 est donnée par u(t) = u 0 /(1 − tu 0 ) tant que le
dénominateur ne s’annule pas. Si u 0 > 0, la solution maximale est ainsi définie
sur l’intervalle ] −∞, 1/u 0 [, tandis que si u 0 < 0, elle est définie sur [1/u 0 , +∞[.
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