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Chapitre 3 : Structure électronique des solides. Généralités
Exercice 3.7. Chaîne d’atomes et zone de Brillouin
Soit une chaîne monodimensionnelle de N atomes distants de a. Énumérer
les différentes valeurs possibles du vecteur d’onde k. Comparer le cas de N = 8
avec celui de N = 7. Tous les états appartiennent-ils à la première zone de
Brillouin ? Que dire si N devient très grand ? (cf. S.L. Altmann, Band theory
of solids).
Considérons un segment de longueur L, comprenant un nombre pair
d’atomes N = 8, distants de a, avec L = (N − 1) a. Les vecteurs k n ont pour
expression :
k n = n
2π
L
= n
2π
(N − 1)a
Les valeurs de n qui conviennent sont telles que :
n = −N/2 + 1, −N/2 + 2, . . .N/2
c’est-à-dire, dans notre cas particulier : −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4
La première zone de Brillouin a pour limites [−π/a, +π/a]. Les valeurs
extrêmes de n (−3 et +4) correspondent à :
k (−3) = −3 × 2π/(N − 1)a = −6π/7a < −π/a intérieur à la première ZB
k (+4) = 4 × 2π/(8 − 1)a = 8π/7a
> π/a
extérieur à la première ZB
Pour N impair, les valeurs qui conviennent sont telles que :
N = −(N − 1)/2, −(N − 1)/2 + 1, . . .(N − 1)/2
Donc, dans notre cas : −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Dans les deux cas : k(+3, −3) = ±3 × 2π/(7 − 1)a = ±π/a (limite de
zone).
Pour N très grand, les deux cas se rejoignent et les états permis occupent
toute la zone de Brillouin.
Chapitre 3 : Structure électronique des solides. Généralités
Exercice 3.7. Chaîne d’atomes et zone de Brillouin
Soit une chaîne monodimensionnelle de N atomes distants de a. Énumérer
les différentes valeurs possibles du vecteur d’onde k. Comparer le cas de N = 8
avec celui de N = 7. Tous les états appartiennent-ils à la première zone de
Brillouin ? Que dire si N devient très grand ? (cf. S.L. Altmann, Band theory
of solids).
Considérons un segment de longueur L, comprenant un nombre pair
d’atomes N = 8, distants de a, avec L = (N − 1) a. Les vecteurs k n ont pour
expression :
k n = n
2π
L
= n
2π
(N − 1)a
Les valeurs de n qui conviennent sont telles que :
n = −N/2 + 1, −N/2 + 2, . . .N/2
c’est-à-dire, dans notre cas particulier : −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4
La première zone de Brillouin a pour limites [−π/a, +π/a]. Les valeurs
extrêmes de n (−3 et +4) correspondent à :
k (−3) = −3 × 2π/(N − 1)a = −6π/7a < −π/a intérieur à la première ZB
k (+4) = 4 × 2π/(8 − 1)a = 8π/7a
> π/a
extérieur à la première ZB
Pour N impair, les valeurs qui conviennent sont telles que :
N = −(N − 1)/2, −(N − 1)/2 + 1, . . .(N − 1)/2
Donc, dans notre cas : −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Dans les deux cas : k(+3, −3) = ±3 × 2π/(7 − 1)a = ±π/a (limite de
zone).
Pour N très grand, les deux cas se rejoignent et les états permis occupent
toute la zone de Brillouin.