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Chapitre 3 : Structure électronique des solides. Généralités
Exercice 3.1. Chaîne d’atomes et modèle
de l’électron libre
1
◦ ) Considérons une chaîne d’atomes répartis sur un segment de longueur
1 000 nm. Dans le modèle de l’électron libre, calculer la valeur de l’énergie la plus basse E 1 , dans le cas où la solution de l’équation d’onde
conduit à un système d’ondes stationnaires. Donner l’expression générale de l’énergie E n pour les autres états. Quelles sont les valeurs des
longueurs d’onde associées aux trois états d’énergie les plus bas ?
2
◦ ) Comparer avec les résultats obtenus avec un segment de 3 cm. Conclusions. Dans quel cas peut-on parler d’un continuum des états d’énergie ?
Données : masse de l’électron = 9.10
−31 kg , = 1,054.10
−34 J.s , 1 eV =
1,6.10
−19 J.
Dans le cas d’un système d’ondes stationnaires, les valeurs propres de
l’énergie d’un système monodimensionnel ont pour expression (relation 3.2,
Chimie des solides, p. 118) :
E =
2
2m
nπ
L
2
avec n = 1, 2 , 3 . . . La longueur du segment L est reliée à la longueur d’onde
par la relation :
L = n
λ n
2
On a représenté, sur le graphe ci-après, l’allure des 3 premières ondes stationnaires correspondant à n = 1, 2 et 3. Pour n = 1, λ 1 = 2 L, pour n = 2, λ 2 = L
et pour n = 3, λ 3 = 3 L/2.
1
◦ ) Pour L = 1 000 nm, l’énergie E 1 pour λ 1 a pour valeur :
E 1 =
1,054.10
−34
2
2 × 9.10 −31 ×
3,1416
1 000.10 −9
2
= 6,9.10
−26 J = 4,3.10
−7 eV
Les valeurs successives de l’énergie sont :
E n = n
2
× 6,9.10
−26 J = n
2
× 4,3.10
−7 eV
2
◦ ) Par contre, dans le cas d’un segment de longueur L = 3 cm, on obtient :
E 1 = 2,7.10
−34 J = 1,7.10
−15 eV