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Différentiabilité en dimension finie
Exemple Calculons les dérivées partielles en (0, 0, 0) de l'application
f: (x1 , x 2 ,x 3 ) E JR 3 r--; (x1 + sh(x1 x 2 x 3 ), x 2 ch(x1 + x 2 + x 3 )) E lR 2 .
En dérivant l'expression de f(x1 , x 2 , x 3 ) par rapport à x1 en considérant x2 et
X 3 fixés, on obtient
Ô
ô f (x1 , X2 , X 3 ) = (1 + X2X 3 ch(x1X 2X 3 ), X2 sh(x1 + X2 + X 3 ))
X1
et en (0, 0, 0), on a ôif (O, 0, 0) = (1, 0). En dérivant l'expression de f(x1 , x 2 , x 3 )
par rapport à x 2 en considérant x1 et X 3 fixés, on obtient
Ô
ôf (xi , x 2 , x 3 ) = (x1 x 3 ch(x1x 2 x 3 ), ch( xi + x 2 + x 3 ) + x 2 sh(x1 + X2 + x 3 ))
X2
et en (0, 0, 0), on a 8 2 f(O, 0, 0) = (0, 1). Enfin, en dérivant l'expression de
f(x1 , x 2 , x 3 ) par rapport à X 3 en considérant x1 et x 2 fixés, on obtient
Ô
ôf (x1 ,x 2 ,x 3 ) = (x1x2 ch(x1x 2 x 3 ), x 2 sh(x1 + x2 + x 3 ))
X 3
et en (0, 0, 0), on a Ô 3 f (0, 0, 0) = (0, 0).
Exercice 10.5 Calculer les deux dérivées partielles des applications :
2
xf - x�
2
4xf x�
1 - f : (Xi , X2) E JR *
f--- --> X2 2
2 . 2 - f : (Xi , X2) E JR *
f--- -->
( 2
2 ) 2 .
X 1 + X 2
X i + X 2
Expression de la diff érentielle à l'aide des dérivées partielles
Le théorème 10.1 indique qu'une application différentiable admet des dérivées
partielles selon tous les vecteurs de base et fournit l'expression des dérivées partielles à l'aide de la différentielle. La proposition suivante indique qu'à l'inverse,
la différentielle en a d'une application différentiable en a peut être exprimée à
l'aide des dérivées partielles en a.
PROPOSITION 10.9 Soit f une application définie sur un ouvert U de 1Rn
à valeurs dans JRP , différentiable en a E U. La différentielle de f en a est
donnée par
n
ôj
dfa : h E lRn f--- --> L h i ôx
· (a) ,
i= l
i
où les réels hi correspondent aux composantes de h dans la base où sont
calculées les dérivées partielles.
Nous avons introduit la notion de dérivées partielles dans le cas d'applications
de JRn dans JRP . Moyennant le choix d'une base de l'espace de départ, la définition que nous avons donnée d'une dérivée partielle s'étend à une application
d'un espace vectoriel de dimension finie E sur un espace vectoriel de dimension
finie F'. Nous allons illustrer cette remarque à l'aide d'un exemple.
Différentiabilité en dimension finie
Exemple Calculons les dérivées partielles en (0, 0, 0) de l'application
f: (x1 , x 2 ,x 3 ) E JR 3 r--; (x1 + sh(x1 x 2 x 3 ), x 2 ch(x1 + x 2 + x 3 )) E lR 2 .
En dérivant l'expression de f(x1 , x 2 , x 3 ) par rapport à x1 en considérant x2 et
X 3 fixés, on obtient
Ô
ô f (x1 , X2 , X 3 ) = (1 + X2X 3 ch(x1X 2X 3 ), X2 sh(x1 + X2 + X 3 ))
X1
et en (0, 0, 0), on a ôif (O, 0, 0) = (1, 0). En dérivant l'expression de f(x1 , x 2 , x 3 )
par rapport à x 2 en considérant x1 et X 3 fixés, on obtient
Ô
ôf (xi , x 2 , x 3 ) = (x1 x 3 ch(x1x 2 x 3 ), ch( xi + x 2 + x 3 ) + x 2 sh(x1 + X2 + x 3 ))
X2
et en (0, 0, 0), on a 8 2 f(O, 0, 0) = (0, 1). Enfin, en dérivant l'expression de
f(x1 , x 2 , x 3 ) par rapport à X 3 en considérant x1 et x 2 fixés, on obtient
Ô
ôf (x1 ,x 2 ,x 3 ) = (x1x2 ch(x1x 2 x 3 ), x 2 sh(x1 + x2 + x 3 ))
X 3
et en (0, 0, 0), on a Ô 3 f (0, 0, 0) = (0, 0).
Exercice 10.5 Calculer les deux dérivées partielles des applications :
2
xf - x�
2
4xf x�
1 - f : (Xi , X2) E JR *
f--- --> X2 2
2 . 2 - f : (Xi , X2) E JR *
f--- -->
( 2
2 ) 2 .
X 1 + X 2
X i + X 2
Expression de la diff érentielle à l'aide des dérivées partielles
Le théorème 10.1 indique qu'une application différentiable admet des dérivées
partielles selon tous les vecteurs de base et fournit l'expression des dérivées partielles à l'aide de la différentielle. La proposition suivante indique qu'à l'inverse,
la différentielle en a d'une application différentiable en a peut être exprimée à
l'aide des dérivées partielles en a.
PROPOSITION 10.9 Soit f une application définie sur un ouvert U de 1Rn
à valeurs dans JRP , différentiable en a E U. La différentielle de f en a est
donnée par
n
ôj
dfa : h E lRn f--- --> L h i ôx
· (a) ,
i= l
i
où les réels hi correspondent aux composantes de h dans la base où sont
calculées les dérivées partielles.
Nous avons introduit la notion de dérivées partielles dans le cas d'applications
de JRn dans JRP . Moyennant le choix d'une base de l'espace de départ, la définition que nous avons donnée d'une dérivée partielle s'étend à une application
d'un espace vectoriel de dimension finie E sur un espace vectoriel de dimension
finie F'. Nous allons illustrer cette remarque à l'aide d'un exemple.