Calcul différentiel
Pour tout (x1 , x 2 ) E IR 2 et pour tout t E JR* on a
Or, on a
1. cos(x 2 + t) - cos(x 2 )
. ( )
1111
= - sm x2
t-+0
t
et l . sin(x 2 + t) - sin(x 2 )
( )
1111
= COS X2
t-+0
t
631
ce qui permet d'affirmer que f admet une dérivée partielle selon le second
vecteur de la base canonique de JR 2 donnée par :
Exercice 10.4 Montrer que l'application f définie sur JR 3 par
admet des dérivées partielles selon les trois vecteurs de la base canonique
de IR 3 et calculer les dérivées partielles a i f, ad et 0 3 f.
Lien entre dérivées partielles et fonctions partielles
La i - ième dérivée partielle d'une application f définie sur un ouvert U de IR n et
à valeurs dans JRP, qui est différentiable sur U, n'est rien d'autre que la dérivée
de la i - ième application partielle < 2 9 J de f. D'après la définition 10.6, on a en
effet pour tout a = (a i , ... , an) E U,
o f ( ) - d
f - 1 · f(a + h ei ) - f(a)
a - e J a - un ---- '-----'--'OXi
'
h-+O
h
r 'Pa,i (ai + h) - 'P a,i(ai)
' ( )
= h�11
h
= cp ai
où 'Pa,i : Xi E IR 1-7 f(ai , ... , ai - 1 , Xi , ai +1 , ... , an) désigne la i - ième application
partielle de f en a.
On en déduit que pour calculer la i - ième dérivée partielle de l'application f en
a = (a1 , ... , an) E U, on peut procéder de la manière suivante : on fige toutes
les variables x1 , ... , Xi - 1 , Xi+1 , ... , Xn et on calcule la dérivée de la quantité
f(x1 , ... , xn) par rapport à la seule variable Xi ; on évalue ensuite l'expression
obtenue en (a1 , ... , an) ·
(29 ) Voir la définition 9.6 p. 554.