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Limite et continuité dans un espace métrique
Munissons !R n
x · · · x !R n de la distance produit associée à la norme euclidienne
sur !R n , voir p. 364, et lR de la distance usuelle. Comme le déterminant du
n-uplet (0, ... , 0) est 0, l'inégalité d'Hadamard, combinée au théorème d'encadrement, indique que l'application déterminant est continue en (0, ... , 0).
Plus généralement, on montre en utilisant l'inégalité d'Hadamard et le fait que
l'application déterminant d'ordre n est une forme n-linéaire que l'application
déterminant d'ordre n est une application continue sur !R n
x · · · x !R n .
PROPOSITION 9.12 L'application déterminant d'ordre n est une application
continue de !R n
x · · · x !R n dans R
Dêmonstration Pour montrer que l'application déterminant d'ordre n par
rapport à une base B de !R n
où (x1j , ... , Xnj) désignent les composantes du vecteur Xj dans la base B, est
une application continue de E = !R n
x · · · x !R n dans IR, il faut montrer que
pour tout (a1, ... , an) E E, l'application detB est continue en (a1, ... , an ), i.e.
que la quantité b. (x1 , ... , xn) = det(x1, ... , xn) - det(a1, ... , an) tend vers 0
quand (x1 , ... ,xn) tend vers (a1 , ... , an) · Soit (a1, ... , an ) E E; pour tout
(:ic1, ... ,xn) E Eon a:
b.(x1, ... , Xn) = det(x1 , ... , Xn) - det(a1, X 2 , ... , Xn) + det(a1, X 2 , ... , Xn)
- det(a1, a 2 , x 3 , ... , Xn) + det(a1, a 2 , x 3 , ... , Xn) - det(a1, a 2 , a 3 , X4 , ... , Xn)
+ · · · + det(a1, ... , an - 1 > Xn) - det(a1, ... , an ) ·
En utilisant le fait que le déterminant est une forme n-linéaire alternée, il vient
b.(x1 , ... ,xn) = det(x1 -a1 , X2, ... ,xn) + det(a1,x 2 -a2 ,x 3 , ... ,xn)
+ ' · · + det(a1, ... , an -2 , Xn - 1 - an - 1, Xn ) + det(a1, ... , an - 1, Xn - an ).
En utilisant l'inégalité triangulaire puis l'inégalité d'Hadamard, on obtient :
J b.(x1 , ... , Xn) I
l t det(a1, ... , ai - 1, Xi - ai , XH1, ... , Xn) I
•=l
,;; t, (1 1 x , - a ;i12 Q lla J / 12 it llx J ll 2) ·
Le théorème d'encadrement permet de conclure que la limite quand (x1 , ... , xn)
tend vers (a1 , ... , an) de det(x1, ... , Xn) vaut det(a1, ... , an ), ce qui signifie que
l'application
Limite et continuité dans un espace métrique
Munissons !R n
x · · · x !R n de la distance produit associée à la norme euclidienne
sur !R n , voir p. 364, et lR de la distance usuelle. Comme le déterminant du
n-uplet (0, ... , 0) est 0, l'inégalité d'Hadamard, combinée au théorème d'encadrement, indique que l'application déterminant est continue en (0, ... , 0).
Plus généralement, on montre en utilisant l'inégalité d'Hadamard et le fait que
l'application déterminant d'ordre n est une forme n-linéaire que l'application
déterminant d'ordre n est une application continue sur !R n
x · · · x !R n .
PROPOSITION 9.12 L'application déterminant d'ordre n est une application
continue de !R n
x · · · x !R n dans R
Dêmonstration Pour montrer que l'application déterminant d'ordre n par
rapport à une base B de !R n
où (x1j , ... , Xnj) désignent les composantes du vecteur Xj dans la base B, est
une application continue de E = !R n
x · · · x !R n dans IR, il faut montrer que
pour tout (a1, ... , an) E E, l'application detB est continue en (a1, ... , an ), i.e.
que la quantité b. (x1 , ... , xn) = det(x1, ... , xn) - det(a1, ... , an) tend vers 0
quand (x1 , ... ,xn) tend vers (a1 , ... , an) · Soit (a1, ... , an ) E E; pour tout
(:ic1, ... ,xn) E Eon a:
b.(x1, ... , Xn) = det(x1 , ... , Xn) - det(a1, X 2 , ... , Xn) + det(a1, X 2 , ... , Xn)
- det(a1, a 2 , x 3 , ... , Xn) + det(a1, a 2 , x 3 , ... , Xn) - det(a1, a 2 , a 3 , X4 , ... , Xn)
+ · · · + det(a1, ... , an - 1 > Xn) - det(a1, ... , an ) ·
En utilisant le fait que le déterminant est une forme n-linéaire alternée, il vient
b.(x1 , ... ,xn) = det(x1 -a1 , X2, ... ,xn) + det(a1,x 2 -a2 ,x 3 , ... ,xn)
+ ' · · + det(a1, ... , an -2 , Xn - 1 - an - 1, Xn ) + det(a1, ... , an - 1, Xn - an ).
En utilisant l'inégalité triangulaire puis l'inégalité d'Hadamard, on obtient :
J b.(x1 , ... , Xn) I
l t det(a1, ... , ai - 1, Xi - ai , XH1, ... , Xn) I
•=l
,;; t, (1 1 x , - a ;i12 Q lla J / 12 it llx J ll 2) ·
Le théorème d'encadrement permet de conclure que la limite quand (x1 , ... , xn)
tend vers (a1 , ... , an) de det(x1, ... , Xn) vaut det(a1, ... , an ), ce qui signifie que
l'application