Limite et continuité
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LEMME 9.1 (Inégalité de Hadamard)
Le déterminant d'ordre n par rapport à une base B = (ei, ... , en) de !R n des
vecteurs X1, ... , Xn vérifie
n
l deta(x1 , ... ,xn) I �Il ll x jll2
j =l
où llxj 11 2 désigne la norme euclidienne du vecteur Xj .
Démonstration Procédons par disjonction de cas : si les vecteurs de la fa. mille
(x1 , ... , xn) sont liés alors <19> deta(xi, ... , xn) = 0; la norme d'un vecteur
étant un réel positif, l'inégalité est vraie. Intéressons-nous au cas où la famille
(x1 , ... , xn ) est libre. S'agissant d'une famille libre de n vecteurs, elle forme < 20>
une base de !R n . Nous savons par le théorème 8.1 que dans l'espace euclidien !R n
muni du produit scalaire canonique ( , ) il existe une base B0 = ( u1 , ... , un)
de !R n qui est orthonormale. Cette base peut être construite par le procédé
d'orthogonalisation de Schmidt ; la matrice de passage P = (Pij )i , j E Mn (IR) de
la ba:se orthogonale B0 à la base Bx = (x1 , ... , xn) est une matrice triangulaire.
(21)
n
.
.
(22)
On a det(P) = f1 i=l Pii et compte tenu de l'mégahté de Cauchy-Schwarz ,
Notons A la matrice représentant l'identité relativement aux bases Bx et B,
autrement dit < 2 3) la matrice de passage de B à Bx , et par B la matrice représentant l'identité relativement aux bases B0 et B, autrement dit la matrice de
passage de B à B0• La matrice B est orthogonale < 24J ; son déterminant vaut
(25)
(26)
donc 1 ou -1. La formule de changement de base
indique que A = B x P. On en déduit que
L'inégalité d'Hadamard est démontrée.
(l9} Voir la proposition 11.1 p. 476 du Cours de première année.
< 20 > Voir la proposition 8.11 p. 330 du Cours de première année.
< 21 > Vo ir la proposition 11.5 p. 482 du Cours de première année.
<22> Vo ir le théorème 8.5 p.481.
<23) Voir la proposition 10.15 p. 435 du Cours de première année.
<24> Vo ir la proposition 8.25 p. 494.
<25> Vo ir la proposition 8.27 p. 497.
(26) Voir le théorème 10.1 p. 440 du Cours de première année.
n
n
i=l
i=l
D